Seja
. Determine as funções
e
se
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que a gente tem é: Seja $ z = \sqrt{y} + f(\sqrt{x} - 1) $. A gente precisa descobrir as funções $ f $ e $ z $ sabendo que, quando $ y = 1 $, $ z = x $. Isso envolve conceitos de funções e substituição de valores. Vamos precisar usar álgebra básica e entender como manipular funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ y = 1 $ na expressão de $ z $. Ficamos com:
Sabemos que $ \sqrt{1} = 1 $, então:
E como $ z = x $ quando $ y = 1 $, temos:
Passo 3
Agora, vamos isolar a função $ f $. Subtraímos 1 de ambos os lados:
Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja $ t = \sqrt{x} - 1 $. Assim, $ \sqrt{x} = t + 1 $ e elevando ao quadrado, $ x = (t + 1)^2 $.
Passo 4
Substituindo $ x = (t + 1)^2 $ na equação $ f(t) = x - 1 $, temos:
Expandindo o quadrado:
Simplificando:
Passo 5
Agora que encontramos $ f(t) $, vamos substituir de volta na expressão original de $ z $:
Substituindo $ f(t) $ por $ t^2 + 2t $ e lembrando que $ t = \sqrt{x} - 1 $:
Vamos expandir e simplificar:
As partes com $ \sqrt{x} $ se cancelam:
Resposta
A função $ f $ é $ f(t) = t^2 + 2t $ e a função $ z $ é $ z(x, y) = x + \sqrt{y} - 1 $.