Seja z=raizy+f(raizx-1). Determine as funções f e z se z=x quando y=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que a gente tem é: Seja $ z = \sqrt{y} + f(\sqrt{x} - 1) $. A gente precisa descobrir as funções $ f $ e $ z $ sabendo que, quando $ y = 1 $, $ z = x $. Isso envolve conceitos de funções e substituição de valores. Vamos precisar usar álgebra básica e entender como manipular funções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ y = 1 $ na expressão de $ z $. Ficamos com:
y = 1
Sabemos que $ \sqrt{1} = 1 $, então:
z
E como $ z = x $ quando $ y = 1 $, temos:
z = raiz1 + f(raizx - 1)

Passo 3

Agora, vamos isolar a função $ f $. Subtraímos 1 de ambos os lados:
f
Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja $ t = \sqrt{x} - 1 $. Assim, $ \sqrt{x} = t + 1 $ e elevando ao quadrado, $ x = (t + 1)^2 $.

Passo 4

Substituindo $ x = (t + 1)^2 $ na equação $ f(t) = x - 1 $, temos:
x = (t + 1)^2
Expandindo o quadrado:
f(t) = x - 1
Simplificando:
f(t) = (t + 1)^2 - 1

Passo 5

Agora que encontramos $ f(t) $, vamos substituir de volta na expressão original de $ z $:
f(t)
Substituindo $ f(t) $ por $ t^2 + 2t $ e lembrando que $ t = \sqrt{x} - 1 $:
z
Vamos expandir e simplificar:
z = raizy + f(raizx - 1)
f(t)
As partes com $ \sqrt{x} $ se cancelam:
t^2 + 2t

Resposta

A função $ f $ é $ f(t) = t^2 + 2t $ e a função $ z $ é $ z(x, y) = x + \sqrt{y} - 1 $.

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