Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro abaixo:
Classe Aluguel \$\(&\)\mathrm{~N}^{\circ}\(de casas\)=\mathrm{f}_{\mathrm{i}}
1 0 \longmapsto 200,00 30
2 200,00-400,00 52
3 400,00-600,00 28
4 600,00-800,00 7
5 800,00-1.000,00 3
Calcule o aluguel médio e o desvio padrão para estas residências.
Quanto se esperaria receber por mês se todas as unidades estivessem ocupadas?

Passo 1

Temos uma distribuição de frequências agrupadas em cinco faixas de aluguel e queremos calcular a média \bar x e o desvio-padrão \sigma usando os pontos médios de cada classe. Depois, com \bar x e o total de unidades N, estimamos a receita mensal se todas as casas estiverem ocupadas.

Passo 2

Calcular o ponto médio x_i de cada classe e o total de casas N:
x_1=\frac{0+200}{2}=100,\quad x_2=\frac{200+400}{2}=300,\quad x_3=\frac{400+600}{2}=500,
x_4=\frac{600+800}{2}=700,\quad x_5=\frac{800+1000}{2}=900,
N=\sum_{i=1}^{5}f_i=30+52+28+7+3=120.

Passo 3

Calcular a soma ponderada \sum f_i x_i e a média
\sum_{i=1}^5 f_i x_i =30\cdot100+52\cdot300+28\cdot500+7\cdot700+3\cdot900=40200,
\bar x = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^5 f_i x_i =\frac{40200}{120}=335{,}00.

Passo 4

Calcular \sum f_i x_i^2, a variância \sigma^2 e o desvio-padrão:
\sum_{i=1}^5 f_i x_i^2 =30\cdot100^2+52\cdot300^2+28\cdot500^2+7\cdot700^2+3\cdot900^2=17840000,
\sigma^2 =\frac{1}{N}\sum_{i=1}^5 f_i x_i^2 - \bar x^2 =\frac{17840000}{120}-335^2 =148666{,}67-112225 =36441{,}67,
\sigma=\sqrt{36441{,}67}\approx190{,}94.

Passo 5

Receita mensal esperada com todas as N=120 casas ocupadas:
\text{Receita} =N\cdot\bar x =120\times335{,}00 =40200{,}00.

Resposta

\text{Aluguel médio} = R\$\,335{,}00 \text{Desvio padrão} = R\$\,190{,}94 \text{Receita mensal esperada} = R\$\,40.200{,}00éã

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