Valores de porosidade (em %) de 30 arenitos encontrados a uma profundidade de 1100 a 1105 metros são mostrados a seguir:
19,8 20,0 20,0 21,1 21,2 21,5 21,5 21,7 21,8 21,9
22,0 22,1 22,1 22,2 22,3 22,3 22,3 22,4 22,4 22,4
22,4 22,5 22,6 22,8 23,0 23,1 23,2 23,3 23,5 24,0
Observação: Utilize aproximação centesimal. Utilize a regra da raiz.
a) Monte uma distribuição, com dados agrupados, com freqüências absolutas (simples e acumuladas);
b) Encontre o valor de porosidade que separa os 35 \% dos menores valores; Encontre o valor de porosidade que separa os 28 \% dos maiores valores; encontre a moda .

Passo 1

O enunciado fornece n=30 valores de porosidade (em %) e pede:
• (a) montar uma distribuição agrupada com frequência absoluta simples e acumulada;
• (b) calcular o valor que separa os 35 % menores (35.º percentil), o valor que separa os 28 % maiores (72.º percentil) e encontrar a moda.
Para isso vamos usar agrupamento em classes pelo critério da raiz quadrada k\approx\sqrt{n} e fórmulas de interpolação para percentis e de Pearson para moda em dados agrupados.

Passo 2

Definimos o número de classes
k \approx \sqrt{30}\approx5,48\quad\Rightarrow\quad k=6
A amplitude total é A=\max-\min=24,0-19,8=4,2. Logo a largura de classe é
h=\frac{A}{k}=\frac{4,2}{6}=0,7
As classes (limites à esquerda inclusivos, à direita exclusivos, exceto a última) ficam:
Classe 1: [19,8;20,5)
Classe 2: [20,5;21,2)
Classe 3: [21,2;21,9)
Classe 4: [21,9;22,6)
Classe 5: [22,6;23,3)
Classe 6: [23,3;24,0]

Passo 3

Contamos os dados em cada classe e calculamos as frequências acumuladas:
Classe 1: f_1=3, F_1=3
Classe 2: f_2=1, F_2=4
Classe 3: f_3=5, F_3=9
Classe 4: f_4=13, F_4=22
Classe 5: f_5=5, F_5=27
Classe 6: f_6=3, F_6=30

Passo 4

Para o 35.º percentil P_{35} usamos np=30\cdot0,35=10,5. Essa posição cai na classe 4 F_3=9<F_{35}\le F_4=22. A fórmula de interpolação é
P_{35}=L_4+\frac{np-F_3}{f_4}\;h
onde L_4=21,9, F_3=9, f_4=13, h=0,7. Logo
P_{35}=21,9+\frac{10,5-9}{13}\times0,7 =21,9+0,0808\approx21,98

Passo 5

Para separar os 28 % maiores usamos o 72.º percentil p=1-0,28=0,72, np=30\cdot0,72=21,6. Ainda cai na classe 4 F_3=9<F_{72}\le22.
P_{72}=21,9+\frac{21,6-9}{13}\times0,7 =21,9+0,6785\approx22,58

Passo 6

A moda em dados agrupados pela fórmula de Pearson (ou fórmula com vértice do histograma) toma a classe modal (maior f, aqui classe 4) e
\text{Moda} =L_4+\frac{f_4-f_3}{2f_4-f_3-f_5}\;h
com f_3=5, f_4=13, f_5=5, L_4=21,9, h=0,7.
\text{Moda} =21,9+\frac{13-5}{2\cdot13-5-5}\times0,7 =21,9+\frac{8}{16}\times0,7 =21,9+0,35=22,25

Resposta

Distribuição agrupada (classes, f, F):
Classe 1 [19,8;20,5): f_1=3, F_1=3
Classe 2 [20,5;21,2): f_2=1, F_2=4
Classe 3 [21,2;21,9): f_3=5, F_3=9
Classe 4 [21,9;22,6): f_4=13, F_4=22
Classe 5 [22,6;23,3): f_5=5, F_5=27
Classe 6 [23,3;24,0]: f_6=3, F_6=30 P_{35}\approx21,98
Valor que separa 28 % maiores P_{72} \approx22,58
Moda \approx22,25

Exercícios relacionados