Implemente e use o MS para aproximar, com precisão \epsilon=10^{-4}, o ponto sobre a curva y=\frac{1}{x} que está mais próximo de (2,1).

Passo 1

O enunciado pede: aproximar, com precisão \epsilon=10^{-4}, o ponto sobre a curva \,y=\dfrac{1}{x}\, que está mais próximo do ponto (2,1), usando o método indicado “MS” (assumo que seja o Método da Secante).
Informações dadas:
  • Curva: y=\dfrac{1}{x}, definida para x\neq0.
  • Ponto fixo: (2,1).
  • Precisão desejada: \epsilon=10^{-4}.
    O objetivo prático: encontrar uma abscissa x^* tal que o ponto \bigl(x^*,\dfrac{1}{x^*}\bigr) minimize a distância até (2,1), e usar o Método da Secante para encontrar x^* com a precisão indicada.

Passo 2

Transformar o problema de geometria em um problema de otimização unidimensional. A distância (euclidiana) entre (x,1/x) e (2,1) é
d(x)=\sqrt{\bigl(x-2\bigr)^2+\Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)^2}.
Minimizar d(x) é equivalente a minimizar o quadrado da distância (isso evita a raiz e não muda o ponto minimizador). Definimos a função objetivo em x:
f(x)=\bigl(x-2\bigr)^2+\Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)^2,\qquad x\neq0.
Explicação didática: como \sqrt{\cdot} é monótona crescente para argumentos não-negativos, o valor de x que minimiza d(x) também minimiza f(x). Trabalhar com f simplifica derivadas e cálculos.

Passo 3

Para encontrar os pontos candidatos a mínimo, procuramos pontos críticos de f, isto é, resolver f'(x)=0. Calculamos f'(x) passo a passo:
f(x)= (x-2)^2 + \Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)^2.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x-2\bigr)^2 = 2(x-2).
Para o segundo termo, use regra da cadeia: se g(x)=\bigl(\tfrac{1}{x}-1\bigr)^2 então
g'(x)=2\Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\cdot\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr) =2\Bigl(\frac{1}{x}-1\Bigr)\cdot\Bigl(-\frac{1}{x^2}\Bigr).
Portanto
f'(x)=2(x-2)-2\frac{\bigl(\tfrac{1}{x}-1\bigr)}{x^2}.
Simplificando o segundo termo: \tfrac{1}{x}-1=\tfrac{1-x}{x}, então
\frac{\tfrac{1}{x}-1}{x^2}=\frac{1-x}{x^3}=-\frac{x-1}{x^3}.
Assim
f'(x)=2(x-2)+2\frac{x-1}{x^3}.
Para achar os pontos críticos resolvemos
f'(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad (x-2)+\frac{x-1}{x^3}=0.
Multiplicando por x^3 (válido para x\neq0) obtemos o polinômio
x^4-2x^3+x-1=0.
Explicação: em vez de resolver o polinômio diretamente (que é quartico), vamos usar o Método da Secante para achar a raiz de f'(x)=0 dentro do intervalo onde sabemos que existe um mínimo.

Passo 4

Escolha do método e apresentação do Método da Secante (MS). Como pedido, usamos o MS para encontrar uma raiz de F(x)=f'(x). O Método da Secante é um método iterativo de busca de raízes que não requer cálculo explícito da derivada de F. A fórmula iterativa é:
x_{n+1}=x_n - F(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{F(x_n)-F(x_{n-1})},
desde que F(x_n)\neq F(x_{n-1}). Critério de parada prático usado aqui: parar quando |x_{n+1}-x_n|<\epsilon (diferença entre iterados menor que a precisão exigida). Justificativa: convergência do método costuma ser superlinear; também escolhemos \epsilon sobre x porque queremos a abscissa x^* com precisão 10^{-4}.

Passo 5

Escolha de palpites iniciais. Avaliamos F(x)=f'(x) em pontos simples para ter um intervalo:
F(1)=f'(1)=2(1-2)+2\frac{1-1}{1^3}=-2.
F(2)=f'(2)=2(2-2)+2\frac{2-1}{2^3}=0+\frac{2}{8}=0{,}25.
Como F(1)=-2<0 e F(2)=0{,}25>0, existe pelo menos uma raiz de F em (1,2). Portanto escolhemos x_0=1 e x_1=2 como pontos iniciais para o MS.
Agora aplicamos o MS iterativamente. Para facilitar os cálculos repetidos usamos a expressão
F(x)=2(x-2)+2\frac{x-1}{x^3}.
Iterações (calculei com precisão suficiente para garantir a condição de parada \epsilon=10^{-4}):
  • Iteração 0 e 1: x_0=1{,}000000, F(x_0)=-2{,}000000; x_1=2{,}000000, F(x_1)=0{,}250000.
  • Iteração 2 (gera x_2 a partir de x_1,x_0):
x_2 = x_1 - F(x_1)\frac{x_1-x_0}{F(x_1)-F(x_0)} =2 - 0{,}25\cdot\frac{1}{0{,}25-(-2)}=2-\frac{0{,}25}{2{,}25}=1{,}8888888889.
Avaliação: F(x_2)\approx 0{,}041666 (cálculo usando a fórmula de F).
  • Iteração 3:
x_3 = x_2 - F(x_2)\frac{x_2-x_1}{F(x_2)-F(x_1)} \approx 1{,}8888888889 - 0{,}041666\cdot\frac{-0{,}1111111111}{0{,}041666-0{,}25} \approx 1{,}866649\!.
Avaliação: F(x_3)\approx -0{,}000302.
  • Iteração 4:
x_4 = x_3 - F(x_3)\frac{x_3-x_2}{F(x_3)-F(x_2)} \approx 1{,}866649 - (-0{,}000302)\cdot\frac{-0{,}0222399}{-0{,}000302-0{,}041666} \approx 1{,}8668098.
Avaliação: F(x_4)\approx 0{,}000144.
  • Iteração 5:
x_5 = x_4 - F(x_4)\frac{x_4-x_3}{F(x_4)-F(x_3)} \approx 1{,}8668098 - 0{,}000144\cdot\frac{0{,}0001608}{0{,}000144-(-0{,}000302)} \approx 1{,}8667581.
Diferença |x_5-x_4|\approx 5{,}17\times 10^{-5}<\epsilon. Portanto o critério de parada é satisfeito e aceitamos x^*\approx x_5.
Observações didáticas sobre as iterações: o Método da Secante usa a reta secante entre os pontos (x_{n-1},F(x_{n-1})) e (x_n,F(x_n)) para obter a próxima aproximação. As avaliações de F foram feitas plugando as abscissas na expressão F(x)=2(x-2)+2(x-1)/x^3. Preferimos medir a convergência pela diferença nas abscissas porque o objetivo é a posição do ponto mais próximo na curva.

Passo 6

Com x^*\approx 1{,}8667581 (obtido pelo MS com |x_{n+1}-x_n|<10^{-4}), o ponto correspondente na curva y=1/x é
y^*=\frac{1}{x^*}\approx\frac{1}{1{,}8667581}\approx 0{,}535697.
Portanto o ponto sobre a curva mais próximo de (2,1), com a precisão pedida, é aproximadamente \bigl(1{,}8667581,\;0{,}535697\bigr).

Resposta

\bigl(1{,}8667581,\;0{,}535697\bigr)

Exercícios relacionados