Implemente e use o MS para aproximar, com precisão
, o ponto sobre a curva
que está mais próximo de
.
Passo 1
O enunciado pede: aproximar, com precisão
, o ponto sobre a curva
que está mais próximo do ponto
, usando o método indicado “MS” (assumo que seja o Método da Secante).
Informações dadas:
Informações dadas:
- Curva:
, definida para . - Ponto fixo:
. - Precisão desejada:
.
O objetivo prático: encontrar uma abscissatal que o ponto minimize a distância até , e usar o Método da Secante para encontrar com a precisão indicada.
Passo 2
Transformar o problema de geometria em um problema de otimização unidimensional. A distância (euclidiana) entre
e
é
Minimizar
é equivalente a minimizar o quadrado da distância (isso evita a raiz e não muda o ponto minimizador). Definimos a função objetivo em
:
Explicação didática: como
é monótona crescente para argumentos não-negativos, o valor de
que minimiza
também minimiza
. Trabalhar com
simplifica derivadas e cálculos.
Passo 3
Para encontrar os pontos candidatos a mínimo, procuramos pontos críticos de
, isto é, resolver
. Calculamos
passo a passo:
Derivando termo a termo:
Para o segundo termo, use regra da cadeia: se
então
Portanto
Simplificando o segundo termo:
, então
Assim
Para achar os pontos críticos resolvemos
Multiplicando por
(válido para
) obtemos o polinômio
Explicação: em vez de resolver o polinômio diretamente (que é quartico), vamos usar o Método da Secante para achar a raiz de
dentro do intervalo onde sabemos que existe um mínimo.
Passo 4
Escolha do método e apresentação do Método da Secante (MS). Como pedido, usamos o MS para encontrar uma raiz de
. O Método da Secante é um método iterativo de busca de raízes que não requer cálculo explícito da derivada de
. A fórmula iterativa é:
desde que
. Critério de parada prático usado aqui: parar quando
(diferença entre iterados menor que a precisão exigida). Justificativa: convergência do método costuma ser superlinear; também escolhemos
sobre
porque queremos a abscissa
com precisão
.
Passo 5
Escolha de palpites iniciais. Avaliamos
em pontos simples para ter um intervalo:
Como
e
, existe pelo menos uma raiz de
em
. Portanto escolhemos
e
como pontos iniciais para o MS.
Agora aplicamos o MS iterativamente. Para facilitar os cálculos repetidos usamos a expressão
Iterações (calculei com precisão suficiente para garantir a condição de parada
):
-
Iteração 0 e 1:
, ; , -
Iteração 2 (gera
a partir de ):
Avaliação:
(cálculo usando a fórmula de
).
- Iteração 3:
Avaliação:
.
- Iteração 4:
Avaliação:
.
- Iteração 5:
Diferença
. Portanto o critério de parada é satisfeito e aceitamos
.
Observações didáticas sobre as iterações: o Método da Secante usa a reta secante entre os pontos
e
para obter a próxima aproximação. As avaliações de
foram feitas plugando as abscissas na expressão
. Preferimos medir a convergência pela diferença nas abscissas porque o objetivo é a posição do ponto mais próximo na curva.
Passo 6
Com
(obtido pelo MS com
), o ponto correspondente na curva
é
Portanto o ponto sobre a curva mais próximo de
, com a precisão pedida, é aproximadamente
.