Para cada sistema estrutural abaixo, encontre as raízes da equação característica e diga se a estrutura é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida.
y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e pede duas coisas:
  • Encontrar as raízes da equação característica associada a essa equação diferencial.
  • Determinar se a estrutura (o sistema) é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida.
A equação fornecida é:
y'' + 5y' + 4y = 0.

Passo 2

Formar a equação característica. Para uma equação do tipo
y'' + a_1 y' + a_0 y = 0,
assume-se uma solução exponencial y=e^{rt}. Substituindo na equação obtém-se a equação polinomial em r, chamada equação característica. Aplicando isso ao nosso caso obtemos:
r^2 + 5r + 4 = 0.
Aqui r é a incógnita da equação característica.

Passo 3

Explicar a fórmula de resolução: para uma equação quadrática
ar^2 + br + c = 0,
as raízes são dadas pela fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática)
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes. O discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac,
e ele determina o tipo de raízes:
  • Se \Delta>0: duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0: raiz real dupla (repetida).
  • Se \Delta<0: duas raízes complexas conjugadas.
No contexto de amortecimento de um sistema de segunda ordem:
  • raízes reais distintas \Rightarrow Superamortecida;
  • raiz real dupla \Rightarrow Criticamente amortecida;
  • raízes complexas \Rightarrow Subamortecida.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao polinômio \;r^2 + 5r + 4 = 0\;. Aqui a=1, b=5, c=4. Calcular o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4\cdot1\cdot4 = 25 - 16 = 9.
Como \Delta=9>0, esperamos duas raízes reais distintas.

Passo 5

Calcular explicitamente as raízes usando a fórmula quadrática:
r = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2\cdot1} = \frac{-5 \pm 3}{2}.
Agora as duas opções:
r_1 = \frac{-5 + 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1,
r_2 = \frac{-5 - 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4.

Passo 6

Interpretar o resultado quanto ao amortecimento. Obtivemos duas raízes reais e distintas \;r_1=-1\; e \;r_2=-4\;. Conforme explicado no Passo 3, isso corresponde a um sistema
superamortecido. Uma consequência prática: a solução geral da equação diferencial é
y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} = C_1 e^{-t} + C_2 e^{-4t},
com constantes C_1 e C_2 determinadas pelas condições iniciais. Ambas as exponenciais decaem no tempo (raízes negativas), então o sistema é estável e decai sem oscilações.

Resposta

\;r_1 = -1,\; r_2 = -4
Superamortecida

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