Para cada sistema estrutural abaixo, encontre as raízes da equação característica e diga se a estrutura é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e pede duas coisas:
- Encontrar as raízes da equação característica associada a essa equação diferencial.
- Determinar se a estrutura (o sistema) é Superamortecida, Criticamente Amortecida ou Subamortecida.
A equação fornecida é:
Passo 2
Formar a equação característica. Para uma equação do tipo
assume-se uma solução exponencial
. Substituindo na equação obtém-se a equação polinomial em
, chamada equação característica. Aplicando isso ao nosso caso obtemos:
Aqui
é a incógnita da equação característica.
Passo 3
Explicar a fórmula de resolução: para uma equação quadrática
as raízes são dadas pela fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática)
onde
,
e
são os coeficientes. O discriminante é
e ele determina o tipo de raízes:
- Se
: duas raízes reais distintas. - Se
: raiz real dupla (repetida). - Se
: duas raízes complexas conjugadas.
No contexto de amortecimento de um sistema de segunda ordem:
- raízes reais distintas
Superamortecida; - raiz real dupla
Criticamente amortecida; - raízes complexas
Subamortecida.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao polinômio
. Aqui
,
,
. Calcular o discriminante:
Como
, esperamos duas raízes reais distintas.
Passo 5
Calcular explicitamente as raízes usando a fórmula quadrática:
Agora as duas opções:
Passo 6
Interpretar o resultado quanto ao amortecimento. Obtivemos duas raízes reais e distintas
e
. Conforme explicado no Passo 3, isso corresponde a um sistema
superamortecido. Uma consequência prática: a solução geral da equação diferencial é
superamortecido. Uma consequência prática: a solução geral da equação diferencial é
com constantes
e
determinadas pelas condições iniciais. Ambas as exponenciais decaem no tempo (raízes negativas), então o sistema é estável e decai sem oscilações.
Resposta
Superamortecida