A implosão ocorre quando a pressão externa de um vaso de pressão é muito superior a pressão interna produzindo uma ruptura abruta do recipiente. O gás no interior do vaso de pressão é comprimido adiabaticamente até sua pressão interna igualar a pressão externa. Para entender um pouco desta tragédia, considere o seguinte modelo: a pressão externa ao Titan era de 381 atm , o ar no interior do submersivel era um gás ideal diatômico a pressão de 1,0 atm, temperatura T0 e volume Vo. Qual a fração de volume de ar em relação ao volume inicial logo após a implosão? Qual a fração de temperatura do ar em relação a temperatura inicial logo após a implosão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a implosão de um submersível, onde a pressão externa é muito maior que a interna, fazendo com que o gas interno seja comprimido. A gente vai usar conceitos de termodinâmica, especificamente processos adiabáticos para gases ideais diatômicos. Precisamos descobrir qual a fração do volume e da temperatura do ar após essa implosão, em relação aos valores iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um processo adiabático. Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente. Para gases ideais, a relação entre pressão §, volume (V) e temperatura (T) durante esse processo é governada pela equação:
P V^gamma = constante
Onde gamma é a razão dos calores específicos Cp/Cv. Para um gás diatômico, gamma = 1,4.

Passo 3

Vamos calcular a fração do volume após a implosão. Usando a relação adiabática:
P1 V0^gamma = P2 Vf^gamma
Onde:
  • P1 = 1, atm (pressão inicial)
  • P2 = 381, atm (pressão final)
  • V0 é o volume inicial
  • Vf é o volume final
Isolando Vf:
VfV0 = ( P1P2 )^1/gamma = ( 1381 )^1/1,4

Passo 4

Vamos calcular essa fração:
VfV0 = ( 1381 )^0,714 approx 0,031
Então, o volume após a implosão é aproximadamente 3,1% do volume inicial.

Passo 5

Agora, vamos calcular a fração da temperatura. Em processos adiabáticos, a relação entre temperatura e volume é:
TfT0 = ( V0Vf )^gamma-1
Substituindo gamma = 1,4:
TfT0 = ( V0Vf )^0,4 = ( 10,031 )^0,4

Passo 6

Calculando essa fração:
TfT0 = (32,26)^0,4 approx 2,43
Então, a temperatura após a implosão é aproximadamente 2,43 vezes a temperatura inicial.

Resposta

Após a implosão, a fração do volume do ar é aproximadamente 0,031 (3,1%) em relação ao volume inicial, e a fração da temperatura é aproximadamente 2,43 vezes a temperatura inicial.

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