1.1 Impōe-se uma diferença de temperatura de 500^{\circ} \mathrm{C} de fora a fora de um tijolo refratário com 10 cm de espessura e condutividade térmica de 1,0 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right). Determine a taxa de transferência de calor por metro quadrado de área.
Resposta: 5 \mathrm{~kW} / \mathrm{m}^{2} ou \mathrm{kJ} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~s}\right).

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Diferença de temperatura entre as faces do tijolo: \Delta T = 500^\circ\mathrm{C}.
    • Espessura do tijolo: 10\\ \mathrm{cm}.
    • Condutividade térmica: k = 1,0\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}).
  • O que é pedido:
    • Determinar a taxa de transferência de calor por metro quadrado de área (ou seja, o fluxo de calor por unidade de área), em unidades compatíveis com a resposta dada.

Passo 2

Apresento a lei usada e o que cada termo significa (de forma bem didática).
  • Para condução estacionária unidimensional através de uma parede plana, usa-se a lei de Fourier:
q'' = -k\,\frac{dT}{dx}.
Aqui:
  • q'' é o fluxo de calor por unidade de área (unidade: \mathrm{W}/\mathrm{m}^2);
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}));
  • \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura ao longo da direção do transporte (^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}).
  • Em regime estacionário e com k constante a temperatura varia linearmente no espessamento, logo a magnitude do gradiente é \dfrac{\Delta T}{L}. Usamos a forma de módulo (valor absoluto) porque queremos a taxa de transferência (magnitudes):
q'' = k\,\frac{\Delta T}{L},
onde L é a espessura da parede.

Passo 3

Converter a espessura para unidades do Sistema Internacional:
  • 10\\ \mathrm{cm} = 0,10\\ \mathrm{m}.
    Vou usar L = 0,10\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo:
q'' = k\,\frac{\Delta T}{L}
q'' = 1,0\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}\cdot^\circ\mathrm{C}}\times\frac{500^\circ\mathrm{C}}{0,10\\ \mathrm{m}}
Calcule o quociente interno primeiro:
\frac{500^\circ\mathrm{C}}{0,10\\ \mathrm{m}} = 5000\\ \frac{^\circ\mathrm{C}}{\mathrm{m}}.
Multiplicando por k:
q'' = 1,0\times 5000\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2} = 5000\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2}.
Converter para as unidades pedidas:
5000\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2} = 5,0\\ \frac{\mathrm{kW}}{\mathrm{m}^2}.
E lembrando que 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J}/\mathrm{s} e 1\\ \mathrm{kW}=1\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{s}, tem-se também:
5,0\\ \frac{\mathrm{kW}}{\mathrm{m}^2}=5,0\\ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}}.

Passo 5

Checagem rápida de ordem de grandeza e interpretação (para você fixar a ideia):
  • Se a espessura dobrasse ( L\to 0,20\\ \mathrm{m}), o fluxo cairia pela metade: q'' é inversamente proporcional a L.
  • Se a condutividade fosse maior, o fluxo aumentaria proporcionalmente.
  • Isso faz sentido físico: parede mais fina ou material mais condutor permite mais calor por área.
Força aí — esse tipo de conta é direto na prova se você decorar a forma q''=k\,\Delta T/L e cuidar das unidades.

Resposta

5,0\\ \dfrac{\mathrm{kW}}{\mathrm{m}^{2}}
5,0\\ \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{m}^{2}\cdot\mathrm{s}}

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