Em um longo canal retangular de
de largura,
e Io
escoa uma vazão de
em regime uniforme. Em terminada seção do canal há um degrau construído para provocar um ressalto hidráulico a montante. Assumindo escoamento crítico sobre o degrau, determinar as alturas conjugadas desse ressalto assim como a altura do degrau. Considerar de pequena magnitude a perda de carga na transição do degrau.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos do enunciado):
- Largura do canal:
. - Rugosidade de Manning:
. - Inclinação do canal:
. - Vazão:
. - Foi construído um degrau em uma seção, e o enunciado diz: “Assumindo escoamento crítico sobre o degrau” e que a perda de carga na transição do degrau é de pequena magnitude.
O que o problema pede:
- Determinar as alturas conjugadas do ressalto hidráulico provocado a montante pelo degrau (ou seja, as profundidades
e que caracterizam o ressalto, sendo a profundidade a jusante do ressalto — mais rasa — e a profundidade a montante — mais funda). - Determinar a altura do degrau
necessária para que o escoamento sobre o degrau seja crítico (considerando pequena perda na transição).
Observação sobre a configuração física que vamos usar (sem resolver ainda): antes do degrau o escoamento é uniforme com profundidade normal
; quando se coloca o degrau, ele é dimensionado para que a lâmina sobre o degrau seja crítica; isso geralmente provoca um ressalto a montante: a lâmina a jusante do ressalto será igual à profundidade uniforme original
(essa será
) e a lâmina a montante do ressalto será a conjugada
. A partir daí calculamos
a partir da conservação de energia (ajustada por pequena perda) entre a secção imediatamente a jusante do ressalto e a secção sobre o degrau (crítica).
Passo 2
Determinar a profundidade normal (escoamento uniforme)
. Vou mostrar a fórmula de Manning e como aplicá‑la.
Fórmula de Manning (para canal aberto em regime uniforme):
onde:
-
é a vazão total ( ); -
é o coeficiente de Manning (adimensional); -
é a área molhada ( ); -
é o raio hidráulico ( , com o perímetro molhado, em ); -
é a inclinação da linha de fundo ( ).
Para canal retangular com profundidade
e largura
:
No nosso caso temos
,
,
,
. A equação de Manning fica uma equação não linear em
. Explico como resolver na prática na prova: tentações por tentativa/erro ou uso de pequena iteração (Newton/Raphson) — aqui farei uma verificação por tentativa mostrando que
satisfaz a equação.
Calculemos com
:
Agora
. Então
Como
e
, temos
o que é muito próximo de
. Portanto a profundidade normal
(a lâmina do escoamento uniforme antes do degrau) é
Comentário prático: na prova é aceitável usar tentativa/erro até obter
próximo de
; valores arredondados como
dão boa precisão.
Passo 3
Determinar a profundidade conjugada
do ressalto com base em
.
Teoria didática do ressalto (sem pular etapas):
- Em um ressalto hidráulico (choque hidráulico) a massa é conservada (continuidade) e o momento específico se conserva entre as duas secções (no caso idealizado sem troca de quantidade de movimento com dispositivo externo). Para canal retangular pode-se obter uma relação direta entre
(profundidade a jusante, mais rasa) e (profundidade a montante, mais funda) usando o número de Froude a jusante. - Define‑se a descarga por unidade de largura:
( ). - A velocidade média em cada secção é
. - O número de Froude é
.
A relação conhecida (resultado da equação de quantidade de movimento para ressalto em canal retangular) é:
onde
é o número de Froude na secção a jusante do ressalto (a mais rasa), calculado com
.
Vamos calcular passo a passo:
- Descarga por largura:
- Velocidade em
:
- Número de Froude em
:
Calculemos:
, logo
- Relação de conjugadas:
Calcule
;
;
;
.
Então
Então
Portanto
Assim a lâmina mais funda a montante do ressalto é
Breve comentário físico:
é a profundidade rasa (supercrítica relativa) e
é a profundidade subcrítica que aparece a montante devido ao ressalto.
Passo 4
Determinar a profundidade crítica
sobre o degrau (a condição imposta pelo enunciado: “escoamento crítico sobre o degrau”).
Para um canal retangular, a profundidade crítica
satisfaz a condição (fórmula bem conhecida):
ou seja
onde
já calculado.
Com
:
Anote que
é maior que
(0,96 m) e menor que
(1,43 m), o que faz sentido físico: a lâmina crítica sobre o degrau está entre as duas.
Passo 5
Determinar a altura do degrau
, usando conservação de energia entre a secção imediatamente a jusante do ressalto (onde a profundidade é
e o fundo tem cota
) e a secção sobre o degrau (onde a profundidade é
e o fundo tem cota
).
Escrevendo a conservação do total de cabeça (tomando pequena perda de carga
na transição do degrau):
Como
, elimina
e isolamos
:
Explico o significado de cada termo:
-
é a energia específica (altura de energia acima do fundo local). - A diferença entre as energias específicas dá a diferença de cota do fundo mais a perda de carga.
Agora calculamos os termos numéricos (primeiro supondo perda nula e depois considerando uma perda pequena):
Velocidades e termos de energia:
Especificidades:
Se considerarmos perda desprezível (
), obtemos
Esse seria o valor do degrau se não houvesse perda na transição.
No entanto o enunciado pede considerar que há uma perda de carga de pequena magnitude na transição do degrau. Uma prática comum (e coerente com “pequena magnitude”) é estimar uma perda proporcional à cabeça de velocidade na seção crítica, por exemplo
com
pequeno (alguns centésimos). Se tomarmos um valor de pequena ordem, digamos
(isto é, perda de cerca de
da cabeça de velocidade), temos:
Substituindo:
Portanto, adotando uma perda pequena e razoável de aproximadamente
, o degrau necessário para forçar o escoamento crítico sobre ele é aproximadamente
.
Observação prática e interpretação: em muitos problemas de projeto o enunciado indica “perda de pequena magnitude” justamente para permitir a aproximação por uma pequena fração da cabeça de velocidade; o valor final adotado
é compatível com esse raciocínio. Se a perda fosse estritamente nula, o valor seria
.