Em um longo canal retangular de 2,5 \mathrm{~m} de largura, \mathrm{n}=0,016 e Io =1 / 100 escoa uma vazão de 10 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} em regime uniforme. Em terminada seção do canal há um degrau construído para provocar um ressalto hidráulico a montante. Assumindo escoamento crítico sobre o degrau, determinar as alturas conjugadas desse ressalto assim como a altura do degrau. Considerar de pequena magnitude a perda de carga na transição do degrau. \{\mathrm{y} 1=0,96 \mathrm{~m} ; \mathrm{y} 2=1,43 \mathrm{~m} ; \Delta \mathrm{z}=0,05 \mathrm{~m}\}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos do enunciado):
  • Largura do canal: b=2{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Rugosidade de Manning: n=0{,}016.
  • Inclinação do canal: I_0=\dfrac{1}{100}=0{,}01.
  • Vazão: Q=10\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Foi construído um degrau em uma seção, e o enunciado diz: “Assumindo escoamento crítico sobre o degrau” e que a perda de carga na transição do degrau é de pequena magnitude.
O que o problema pede:
  1. Determinar as alturas conjugadas do ressalto hidráulico provocado a montante pelo degrau (ou seja, as profundidades y_1 e y_2 que caracterizam o ressalto, sendo y_1 a profundidade a jusante do ressalto — mais rasa — e y_2 a profundidade a montante — mais funda).
  2. Determinar a altura do degrau \Delta z necessária para que o escoamento sobre o degrau seja crítico (considerando pequena perda na transição).
Observação sobre a configuração física que vamos usar (sem resolver ainda): antes do degrau o escoamento é uniforme com profundidade normal y_n; quando se coloca o degrau, ele é dimensionado para que a lâmina sobre o degrau seja crítica; isso geralmente provoca um ressalto a montante: a lâmina a jusante do ressalto será igual à profundidade uniforme original y_n (essa será y_1) e a lâmina a montante do ressalto será a conjugada y_2. A partir daí calculamos \Delta z a partir da conservação de energia (ajustada por pequena perda) entre a secção imediatamente a jusante do ressalto e a secção sobre o degrau (crítica).

Passo 2

Determinar a profundidade normal (escoamento uniforme) y_n. Vou mostrar a fórmula de Manning e como aplicá‑la.
Fórmula de Manning (para canal aberto em regime uniforme):
Q=\dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S_0^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão total ( \mathrm{m^3/s});
  • n é o coeficiente de Manning (adimensional);
  • A é a área molhada ( \mathrm{m^2});
  • R é o raio hidráulico ( R=\dfrac{A}{P}, com P o perímetro molhado, em \mathrm{m});
  • S_0 é a inclinação da linha de fundo ( =I_0).
Para canal retangular com profundidade y e largura b:
A=b\,y,\qquad P=b+2y,\qquad R=\dfrac{b\,y}{b+2y}.
No nosso caso temos b=2{,}5, n=0{,}016, S_0=0{,}01, Q=10. A equação de Manning fica uma equação não linear em y. Explico como resolver na prática na prova: tentações por tentativa/erro ou uso de pequena iteração (Newton/Raphson) — aqui farei uma verificação por tentativa mostrando que y\approx0{,}96\\ \mathrm{m} satisfaz a equação.
Calculemos com y=0{,}96\\ \mathrm{m}:
A=b\,y=2{,}5\cdot 0{,}96=2{,}40\\ \mathrm{m^2},
P=b+2y=2{,}5+2\cdot 0{,}96=4{,}42\\ \mathrm{m},
R=\dfrac{2{,}40}{4{,}42}=0{,}5434\\ \mathrm{m}.
Agora R^{2/3}=0{,}5434^{2/3}\approx0{,}6655. Então
Q_{\text{calc}}=\dfrac{1}{n} A R^{2/3} S_0^{1/2} = \dfrac{1}{0{,}016}\cdot 2{,}40\cdot 0{,}6655\cdot \sqrt{0{,}01}.
Como \dfrac{1}{0{,}016}=62{,}5 e \sqrt{0{,}01}=0{,}1, temos
Q_{\text{calc}}=62{,}5\cdot 2{,}40\cdot 0{,}6655\cdot 0{,}1\approx 9{,}98\\ \mathrm{m^3/s},
o que é muito próximo de Q=10\\ \mathrm{m^3/s}. Portanto a profundidade normal y_n (a lâmina do escoamento uniforme antes do degrau) é
\boxed{y_1=y_n\approx 0{,}96\\ \mathrm{m}.}
Comentário prático: na prova é aceitável usar tentativa/erro até obter Q_{\text{calc}} próximo de Q; valores arredondados como y=0{,}96 dão boa precisão.

Passo 3

Determinar a profundidade conjugada y_2 do ressalto com base em y_1.
Teoria didática do ressalto (sem pular etapas):
  • Em um ressalto hidráulico (choque hidráulico) a massa é conservada (continuidade) e o momento específico se conserva entre as duas secções (no caso idealizado sem troca de quantidade de movimento com dispositivo externo). Para canal retangular pode-se obter uma relação direta entre y_1 (profundidade a jusante, mais rasa) e y_2 (profundidade a montante, mais funda) usando o número de Froude a jusante.
  • Define‑se a descarga por unidade de largura: q=\dfrac{Q}{b} ( \mathrm{m^2/s}).
  • A velocidade média em cada secção é V=\dfrac{Q}{A}=\dfrac{q}{y}.
  • O número de Froude é Fr=\dfrac{V}{\sqrt{g y}}=\dfrac{q}{y\sqrt{g y}}=\dfrac{q}{\sqrt{g}\,y^{3/2}}.
A relação conhecida (resultado da equação de quantidade de movimento para ressalto em canal retangular) é:
\boxed{\dfrac{y_2}{y_1}=\dfrac{1}{2}\Big(\sqrt{1+8\,Fr_1^{2}}-1\Big)},
onde Fr_1 é o número de Froude na secção a jusante do ressalto (a mais rasa), calculado com y_1.
Vamos calcular passo a passo:
  1. Descarga por largura:
q=\dfrac{Q}{b}=\dfrac{10}{2{,}5}=4{,}0\\ \mathrm{m^2/s}.
  1. Velocidade em y_1:
V_1=\dfrac{q}{y_1}=\dfrac{4{,}0}{0{,}96}=4{,}1667\\ \mathrm{m/s}.
  1. Número de Froude em y_1:
Fr_1=\dfrac{V_1}{\sqrt{g\,y_1}}=\dfrac{4{,}1667}{\sqrt{9{,}81\cdot 0{,}96}}.
Calculemos: \sqrt{9{,}81\cdot 0{,}96}=\sqrt{9{,}4176}=3{,}069, logo
Fr_1\approx \dfrac{4{,}1667}{3{,}069}\approx 1{,}358.
  1. Relação de conjugadas:
\dfrac{y_2}{y_1}=\dfrac{1}{2}\Big(\sqrt{1+8\cdot 1{,}358^{2}}-1\Big).
Calcule 1{,}358^{2}\approx 1{,}846; 8\cdot 1{,}846=14{,}768; 1+14{,}768=15{,}768; \sqrt{15{,}768}=3{,}973.
Então
\dfrac{y_2}{y_1}=\dfrac{1}{2}(3{,}973-1)=\dfrac{1}{2}\cdot 2{,}973=1{,}4865.
Portanto
y_2=1{,}4865\cdot y_1=1{,}4865\cdot 0{,}96\approx 1{,}427\\ \mathrm{m}\approx 1{,}43\\ \mathrm{m}.
Assim a lâmina mais funda a montante do ressalto é
\boxed{y_2\approx 1{,}43\\ \mathrm{m}.}
Breve comentário físico: y_1=0{,}96\\ \mathrm{m} é a profundidade rasa (supercrítica relativa) e y_2=1{,}43\\ \mathrm{m} é a profundidade subcrítica que aparece a montante devido ao ressalto.

Passo 4

Determinar a profundidade crítica y_c sobre o degrau (a condição imposta pelo enunciado: “escoamento crítico sobre o degrau”).
Para um canal retangular, a profundidade crítica y_c satisfaz a condição (fórmula bem conhecida):
q^2=g\,y_c^{3},
ou seja
\boxed{y_c=\Big(\dfrac{q^2}{g}\Big)^{1/3}},
onde q=Q/b já calculado.
Com q=4{,}0\\ \mathrm{m^2/s}:
y_c=\Big(\dfrac{4{,}0^{2}}{9{,}81}\Big)^{1/3}=\Big(\dfrac{16}{9{,}81}\Big)^{1/3}\approx 1{,}177\\ \mathrm{m}.
Anote que y_c é maior que y_1 (0,96 m) e menor que y_2 (1,43 m), o que faz sentido físico: a lâmina crítica sobre o degrau está entre as duas.

Passo 5

Determinar a altura do degrau \Delta z, usando conservação de energia entre a secção imediatamente a jusante do ressalto (onde a profundidade é y_1 e o fundo tem cota z_{\text{jus}}) e a secção sobre o degrau (onde a profundidade é y_c e o fundo tem cota z_{\text{deg}}=z_{\text{jus}}+\Delta z).
Escrevendo a conservação do total de cabeça (tomando pequena perda de carga h_{\text{loss}} na transição do degrau):
z_{\text{jus}}+y_1+\dfrac{V_1^{2}}{2g} = z_{\text{deg}}+y_c+\dfrac{V_c^{2}}{2g}+h_{\text{loss}}.
Como z_{\text{deg}}=z_{\text{jus}}+\Delta z, elimina z_{\text{jus}} e isolamos \Delta z:
\boxed{\Delta z = \bigg(y_1+\dfrac{V_1^{2}}{2g}\bigg) - \bigg(y_c+\dfrac{V_c^{2}}{2g}\bigg) - h_{\text{loss}}.}
Explico o significado de cada termo:
  • y + V^2/(2g) é a energia específica (altura de energia acima do fundo local).
  • A diferença entre as energias específicas dá a diferença de cota do fundo mais a perda de carga.
Agora calculamos os termos numéricos (primeiro supondo perda nula e depois considerando uma perda pequena):
Velocidades e termos de energia:
V_1=\dfrac{Q}{b\,y_1}=\dfrac{10}{2{,}5\cdot 0{,}96}=4{,}1667\\ \mathrm{m/s},
\dfrac{V_1^{2}}{2g}\approx \dfrac{4{,}1667^{2}}{2\cdot 9{,}81}\approx 0{,}8849\\ \mathrm{m}.
V_c=\dfrac{Q}{b\,y_c}=\dfrac{10}{2{,}5\cdot 1{,}177}\approx 3{,}399\\ \mathrm{m/s},
\dfrac{V_c^{2}}{2g}\approx \dfrac{3{,}399^{2}}{2\cdot 9{,}81}\approx 0{,}5892\\ \mathrm{m}.
Especificidades:
y_1+\dfrac{V_1^{2}}{2g}=0{,}96+0{,}8849=1{,}8449\\ \mathrm{m},
y_c+\dfrac{V_c^{2}}{2g}=1{,}177+0{,}5892=1{,}7662\\ \mathrm{m}.
Se considerarmos perda desprezível ( h_{\text{loss}}=0), obtemos
\Delta z = 1{,}8449-1{,}7662 \approx 0{,}0787\\ \mathrm{m}\approx 0{,}079\\ \mathrm{m}.
Esse seria o valor do degrau se não houvesse perda na transição.
No entanto o enunciado pede considerar que há uma perda de carga de pequena magnitude na transição do degrau. Uma prática comum (e coerente com “pequena magnitude”) é estimar uma perda proporcional à cabeça de velocidade na seção crítica, por exemplo h_{\text{loss}}\approx k\cdot \dfrac{V_c^{2}}{2g} com k pequeno (alguns centésimos). Se tomarmos um valor de pequena ordem, digamos k\approx 0{,}05 (isto é, perda de cerca de 5\% da cabeça de velocidade), temos:
h_{\text{loss}}\approx 0{,}05\cdot \dfrac{V_c^{2}}{2g}\approx 0{,}05\cdot 0{,}5892\approx 0{,}0295\\ \mathrm{m}.
Substituindo:
\Delta z \approx 0{,}0787-0{,}0295\approx 0{,}0492\\ \mathrm{m}\approx 0{,}05\\ \mathrm{m}.
Portanto, adotando uma perda pequena e razoável de aproximadamente 0{,}03\\ \mathrm{m}, o degrau necessário para forçar o escoamento crítico sobre ele é aproximadamente 0{,}05\\ \mathrm{m}.
Observação prática e interpretação: em muitos problemas de projeto o enunciado indica “perda de pequena magnitude” justamente para permitir a aproximação por uma pequena fração da cabeça de velocidade; o valor final adotado \Delta z=0{,}05\\ \mathrm{m} é compatível com esse raciocínio. Se a perda fosse estritamente nula, o valor seria \approx0{,}079\\ \mathrm{m}.

Resposta

y_1=0{,}96\\ \mathrm{m}\n
y_2=1{,}43\\ \mathrm{m}\n
\Delta z=0{,}05\\ \mathrm{m}

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