Um pequeno lingote metálico de formato cilíndrico de raio R e altura h é aquecido em um forno até a temperatura de 300^{\circ} \mathrm{C}, retirado e deixado para resfriar em tempe- ratura ambiente \mathrm{T}=-20^{\circ} \mathrm{C} por convecção e radiação. Considerando que o lingote é resfriado uniformemente em toda sua superfície externa e a variação da condutivida- de térmica do material em função da temperatura é desprezível, determine a equação diferencial que descreve a variação de temperatura do lingote durante o processo de resfriamento.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (resumido e claro):
  • Geometria do lingote: cilindro de raio R e altura h.
  • Condição inicial: o lingote está a 300^\circ\mathrm{C} ao sair do forno.
  • Ambiente: temperatura ambiente -20^\circ\mathrm{C}.
  • Processo de resfriamento: por convecção e radiação, com resfriamento uniforme na superfície externa do corpo (isto é, a temperatura do lingote é uniforme em cada instante).
  • Informação adicional: a variação da condutividade térmica com a temperatura é desprezível.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a equação diferencial que descreve a variação temporal da temperatura do lingote durante o resfriamento (ou seja, obter uma EDO para T(t)).
Valores/quantidades que vamos precisar (não numéricos porque o enunciado não fornece):
  • densidade do material \rho (kg/m^3),
  • calor específico do material c (J/(kg·K)),
  • coeficiente de convecção h_{\text{conv}} (W/(m^2·K)),
  • emissividade da superfície \varepsilon (adimensional),
  • constante de Stefan–Boltzmann \sigma (W/(m2·K4)),
  • temperatura ambiente T_\infty=-20^\circ\mathrm{C} (converter para Kelvin quando for usado em radiação),
  • condição inicial T(0)=300^\circ\mathrm{C} (idem, converter quando necessário).

Passo 2

Por que podemos tratar a temperatura do lingote como uniforme (modelo de um único nó)?
  • O enunciado afirma explicitamente “resfriado uniformemente em toda sua superfície externa”. Isso permite usar o modelo de capacidade térmica concentrada (lumped capacitance): a temperatura do sólido varia apenas no tempo, não no espaço: T=T(t).
  • Física por trás (intuição): isso é válido quando a resistência interna à condução é muito menor que a resistência à troca de calor na superfície. Uma medida adimensional disso é o número de Biot \mathrm{Bi}=\dfrac{h_{\text{conv}} L_c}{k}, onde L_c é um comprimento característico do corpo e k a condutividade. Quando \mathrm{Bi}\ll 1 (regra prática: \mathrm{Bi}<0,1), a aproximação de temperatura espacialmente uniforme é boa.
  • Aqui vamos aceitar a hipótese do enunciado e aplicar o balanço de energia global (modelo lumped).

Passo 3

Escrever o balanço de energia (princípio fundamental que usaremos):
  • Energia interna do lingote (variação) = soma das potências trocadas com o ambiente (sinal: perda é negativa).
  • Para um sólido com massa m e calor específico c, a taxa de variação da energia interna é
\frac{d}{dt}\bigl(m c T\bigr)=m c \frac{dT}{dt}.
  • As fontes de calor (saídas) são:
    1. Convecção na superfície: potência convectiva total Q_{\text{conv}} = h_{\text{conv}} A\,(T - T_\infty).
    2. Radiação na superfície: potência radiativa total Q_{\text{rad}} = \varepsilon \sigma A\,\bigl(T^4 - T_\infty^4\bigr).
  • Sinal: ambas removem calor quando T>T_\infty, então entram com sinal negativo no balanço.
Portanto o balanço energético diferencial é
m c \frac{dT}{dt} = -\,h_{\text{conv}} A\,(T - T_\infty)\;-\;\varepsilon \sigma A\bigl(T^4 - T_\infty^4\bigr).

Passo 4

Explicar e definir cada termo e constante (didático e prático):
  • T(t) é a temperatura do lingote em função do tempo; aqui deve-se usar temperatura em Kelvin ( T_{\mathrm{K}}=T_{^\circ\mathrm{C}}+273{,}15) sempre que for calcular potências radiativas, porque a lei de Stefan–Boltzmann exige temperaturas absolutas.
  • T_\infty é a temperatura do ambiente (aqui -20^\circ\mathrm{C}, ou 253{,}15\\ \mathrm{K}).
  • m é a massa do lingote:
m=\rho V=\rho \cdot (\text{volume do cilindro})=\rho\,\pi R^2 h.
  • A é a área externa total do cilindro (lateral + duas bases):
A = \text{área lateral} + \text{área das duas bases} = 2\pi R h + 2\pi R^2 = 2\pi R(h+R).áá
  • h_{\text{conv}} é o coeficiente convectivo (W·m{-2}·K{-1}), característico do fluido e das condições de escoamento.
  • \varepsilon é a emissividade superficial (adimensional, 0\le\varepsilon\le 1).
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann:
\sigma \approx 5{,}670374419\times 10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.

Passo 5

Substituir m e A na equação e isolar a derivada para escrever a EDO na forma padrão:
  • Inserindo m=\rho\pi R^2 h e A=2\pi R(h+R) na equação do Passo 3,
\rho\pi R^2 h\; c\; \frac{dT}{dt} = -\,h_{\text{conv}}\; 2\pi R(h+R)\,(T - T_\infty)\;-\;\varepsilon \sigma\; 2\pi R(h+R)\,\bigl(T^4 - T_\infty^4\bigr).
  • Podemos dividir ambos os lados por m c=\rho\pi R^2 h\, c para obter \dfrac{dT}{dt} isolada:
\frac{dT}{dt} = -\frac{2\pi R(h+R)}{\rho\pi R^2 h\, c}\left[ h_{\text{conv}}(T - T_\infty) + \varepsilon \sigma (T^4 - T_\infty^4)\right].
  • Simplificando a fração que multiplica o colchete:
\frac{2\pi R(h+R)}{\rho\pi R^2 h\, c} = \frac{2(h+R)}{\rho R h\, c}.
  • Assim a forma compacta e prática da EDO é
\frac{dT}{dt} = -\frac{2(h+R)}{\rho R h\, c}\;\Bigl[\,h_{\text{conv}}\,(T - T_\infty)\;+\;\varepsilon \sigma\,(T^4 - T_\infty^4)\Bigr].

Passo 6

Comentários finais sobre a equação e observações úteis para a prova (como resolver/usar):
  • A equação obtida é uma EDO não linear (por causa do termo T^4 da radiação). Em geral resolve-se numericamente ou, em aproximações, lineariza-se a parte radiativa se necessário.
  • Linearização comum: expandir T^4 em torno de T_\infty (ou usar uma média entre T e T_\infty) para obter uma constante efetiva de troca h_{\text{eff}}=h_{\text{conv}}+h_{\text{rad}}, onde
h_{\text{rad}}\approx 4\varepsilon\sigma T_{\text{m}}^3
com T_{\text{m}} uma temperatura média em Kelvin; assim a EDO fica linear e integrável analiticamente. Mas essa aproximação só é válida quando se aceita linearizar a forte não linearidade da radiação.
  • Sempre lembrar: ao usar o termo radiativo, T e T_\infty devem estar em Kelvin. As constantes \rho, c, h_{\text{conv}}, \varepsilon e geometria R,h devem ser fornecidas para resolver numericamente ou obter constantes.

Resposta

\boxed{\,\rho\pi R^2 h\; c\; \frac{dT}{dt} = -\,h_{\text{conv}}\; 2\pi R(h+R)\,(T - T_\infty)\;-\;\varepsilon \sigma\; 2\pi R(h+R)\,\bigl(T^4 - T_\infty^4\bigr)\,}
ou, de forma isolada para \dfrac{dT}{dt},
\boxed{\,\frac{dT}{dt} = -\frac{2(h+R)}{\rho R h\, c}\;\Bigl[\,h_{\text{conv}}\,(T - T_\infty)\;+\;\varepsilon \sigma\,(T^4 - T_\infty^4)\Bigr]\,}
Condição inicial: \displaystyle T(0)=300^\circ\mathrm{C}=573{,}15\\ \mathrm{K} (usar T em K para o termo radiativo)

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