Um pequeno lingote metálico de formato cilíndrico de raio R e altura h é aquecido em um forno até a temperatura de
, retirado e deixado para resfriar em tempe- ratura ambiente
por convecção e radiação. Considerando que o lingote é resfriado uniformemente em toda sua superfície externa e a variação da condutivida- de térmica do material em função da temperatura é desprezível, determine a equação diferencial que descreve a variação de temperatura do lingote durante o processo de resfriamento.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (resumido e claro):
- Geometria do lingote: cilindro de raio
e altura . - Condição inicial: o lingote está a
ao sair do forno. - Ambiente: temperatura ambiente
. - Processo de resfriamento: por convecção e radiação, com resfriamento uniforme na superfície externa do corpo (isto é, a temperatura do lingote é uniforme em cada instante).
- Informação adicional: a variação da condutividade térmica com a temperatura é desprezível.
O que o enunciado pede:
- Determinar a equação diferencial que descreve a variação temporal da temperatura do lingote durante o resfriamento (ou seja, obter uma EDO para
).
Valores/quantidades que vamos precisar (não numéricos porque o enunciado não fornece):
- densidade do material
(kg/m^3), - calor específico do material
(J/(kg·K)), - coeficiente de convecção
(W/(m^2·K)), - emissividade da superfície
(adimensional), - constante de Stefan–Boltzmann
(W/(m2·K4)), - temperatura ambiente
(converter para Kelvin quando for usado em radiação), - condição inicial
(idem, converter quando necessário).
Passo 2
Por que podemos tratar a temperatura do lingote como uniforme (modelo de um único nó)?
- O enunciado afirma explicitamente “resfriado uniformemente em toda sua superfície externa”. Isso permite usar o modelo de capacidade térmica concentrada (lumped capacitance): a temperatura do sólido varia apenas no tempo, não no espaço:
. - Física por trás (intuição): isso é válido quando a resistência interna à condução é muito menor que a resistência à troca de calor na superfície. Uma medida adimensional disso é o número de Biot
, onde é um comprimento característico do corpo e a condutividade. Quando (regra prática: ), a aproximação de temperatura espacialmente uniforme é boa. - Aqui vamos aceitar a hipótese do enunciado e aplicar o balanço de energia global (modelo lumped).
Passo 3
Escrever o balanço de energia (princípio fundamental que usaremos):
- Energia interna do lingote (variação) = soma das potências trocadas com o ambiente (sinal: perda é negativa).
- Para um sólido com massa
e calor específico , a taxa de variação da energia interna é
-
As fontes de calor (saídas) são:
- Convecção na superfície: potência convectiva total
. - Radiação na superfície: potência radiativa total
.
- Convecção na superfície: potência convectiva total
-
Sinal: ambas removem calor quando
, então entram com sinal negativo no balanço.
Portanto o balanço energético diferencial é
Passo 4
Explicar e definir cada termo e constante (didático e prático):
-
é a temperatura do lingote em função do tempo; aqui deve-se usar temperatura em Kelvin ( ) sempre que for calcular potências radiativas, porque a lei de Stefan–Boltzmann exige temperaturas absolutas. -
é a temperatura do ambiente (aqui , ou ). -
é a massa do lingote:
-
é a área externa total do cilindro (lateral + duas bases):
-
é o coeficiente convectivo (W·m{-2}·K{-1}), característico do fluido e das condições de escoamento. -
é a emissividade superficial (adimensional, ). -
é a constante de Stefan–Boltzmann:
Passo 5
Substituir
e
na equação e isolar a derivada para escrever a EDO na forma padrão:
- Inserindo
e na equação do Passo 3,
- Podemos dividir ambos os lados por
para obter isolada:
- Simplificando a fração que multiplica o colchete:
- Assim a forma compacta e prática da EDO é
Passo 6
Comentários finais sobre a equação e observações úteis para a prova (como resolver/usar):
- A equação obtida é uma EDO não linear (por causa do termo
da radiação). Em geral resolve-se numericamente ou, em aproximações, lineariza-se a parte radiativa se necessário. - Linearização comum: expandir
em torno de (ou usar uma média entre e ) para obter uma constante efetiva de troca , onde
com
uma temperatura média em Kelvin; assim a EDO fica linear e integrável analiticamente. Mas essa aproximação só é válida quando se aceita linearizar a forte não linearidade da radiação.
- Sempre lembrar: ao usar o termo radiativo,
e devem estar em Kelvin. As constantes , , , e geometria devem ser fornecidas para resolver numericamente ou obter constantes.
Resposta
ou, de forma isolada para
,
Condição inicial:
(usar
em K para o termo radiativo)