Um importante fenômeno hidráulico em condutos forçados é o chamado golpe de ariete. Esse fenômeno ocorre quando a velocidade do escoamento se altera rapidamente, como o caso de um fechamento instantâneo de uma válvula. Ao fechar rapidamente, a válvula bloqueia parcialmente o fluxo, gerando um empacotamento das partículas de fluido e consequentemente, aumento de pressão. Considerando que esse aumento de pressão
, depende da variação de velocidade (
), da massa específica do fluido, da viscosidade do fluido, do comprimento da tubulação, do tempo de manobra e da velocidade de propagação da onda de pressão dentro da tubulação, pede-se:
Determine os adimensionais que regem o problema
Determine os adimensionais que regem o problema
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar os números adimensionais (os “grupinhos” sem unidade) que governam o fenômeno do golpe de aríete numa tubulação.
Conteúdo: análise dimensional usando o método de Buckingham Pi.
O que a gente vai precisar:
Conteúdo: análise dimensional usando o método de Buckingham Pi.
O que a gente vai precisar:
- Listar todas as variáveis envolvidas e suas dimensões (M, L, T).
- Escolher variáveis repetidas (que formam a base).
- Montar os grupos de Buckingham Pi para eliminar unidades.
Passo 2
Lista de variáveis com suas dimensões:
- ΔP (a variação de pressão) → [M L⁻¹ T⁻²]
- Δv (variação de velocidade) → [L T⁻¹]
- ρ (massa específica) → [M L⁻³]
- μ (viscosidade dinâmica) → [M L⁻¹ T⁻¹]
- L (comprimento da tubulação) → [L]
- t (tempo de manobra) → [T]
- c (velocidade de propagação da onda) → [L T⁻¹]
Temos 7 variáveis e 3 dimensões fundamentais (M, L, T), então vamos obter 7 – 3 = 4 números adimensionais.
Passo 3
Escolhendo as variáveis repetidas:
- ρ, Δv e L
Elas formam nossa base, porque juntas cobrem M, L e T.
Agora vamos montar 4 grupos (Π₁, Π₂, Π₃, Π₄), cada um combinando uma variável não-repetida com potências de ρ, Δv e L, de modo a anular as unidades.
Passo 4
-
Π₁ envolvendo ΔP:
Queremos Π₁ = ΔP · ρᵃ · Δvᵇ · Lᶜ sem dimensão.
Dimensionalmente:
[M L⁻¹ T⁻²]·[Mᵃ L⁻³ᵃ]·[Lᵇ T⁻ᵇ]·[Lᶜ] = M⁰ L⁰ T⁰
Resolvendo dá a combinação clássica ΔP/(ρ c Δv). Mas, usando apenas ρ, Δv e L, sai ΔP/(ρ Δv²).
Fica:
-
Π₂ com μ (viscosidade):
Para anular M, L, T em μ·ρᵃ·Δvᵇ·Lᶜ, obtém o inverso do número de Reynolds. A forma mais conhecida é:
-
Π₃ com t (tempo de manobra):
Combinação natural: tempo dividido pelo tempo convectivo L/Δv, ou seja:
-
Π₄ com c (velocidade da onda):
É a razão entre a velocidade de escoamento Δv e a velocidade da onda c, um “Mach” hidráulico:
Resposta
Os quatro números adimensionais que regem o golpe de aríete são: