Um importante fenômeno hidráulico em condutos forçados é o chamado golpe de ariete. Esse fenômeno ocorre quando a velocidade do escoamento se altera rapidamente, como o caso de um fechamento instantâneo de uma válvula. Ao fechar rapidamente, a válvula bloqueia parcialmente o fluxo, gerando um empacotamento das partículas de fluido e consequentemente, aumento de pressão. Considerando que esse aumento de pressão (De, depende da variação de velocidade ( De ), da massa específica do fluido, da viscosidade do fluido, do comprimento da tubulação, do tempo de manobra e da velocidade de propagação da onda de pressão dentro da tubulação, pede-se:
Determine os adimensionais que regem o problema

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar os números adimensionais (os “grupinhos” sem unidade) que governam o fenômeno do golpe de aríete numa tubulação.
Conteúdo: análise dimensional usando o método de Buckingham Pi.
O que a gente vai precisar:
  • Listar todas as variáveis envolvidas e suas dimensões (M, L, T).
  • Escolher variáveis repetidas (que formam a base).
  • Montar os grupos de Buckingham Pi para eliminar unidades.

Passo 2

Lista de variáveis com suas dimensões:
  1. ΔP (a variação de pressão) → [M L⁻¹ T⁻²]
  2. Δv (variação de velocidade) → [L T⁻¹]
  3. ρ (massa específica) → [M L⁻³]
  4. μ (viscosidade dinâmica) → [M L⁻¹ T⁻¹]
  5. L (comprimento da tubulação) → [L]
  6. t (tempo de manobra) → [T]
  7. c (velocidade de propagação da onda) → [L T⁻¹]
Temos 7 variáveis e 3 dimensões fundamentais (M, L, T), então vamos obter 7 – 3 = 4 números adimensionais.

Passo 3

Escolhendo as variáveis repetidas:
  • ρ, Δv e L
    Elas formam nossa base, porque juntas cobrem M, L e T.
    Agora vamos montar 4 grupos (Π₁, Π₂, Π₃, Π₄), cada um combinando uma variável não-repetida com potências de ρ, Δv e L, de modo a anular as unidades.

Passo 4

  1. Π₁ envolvendo ΔP:
    Queremos Π₁ = ΔP · ρᵃ · Δvᵇ · Lᶜ sem dimensão.
    Dimensionalmente:
    [M L⁻¹ T⁻²]·[Mᵃ L⁻³ᵃ]·[Lᵇ T⁻ᵇ]·[Lᶜ] = M⁰ L⁰ T⁰
    Resolvendo dá a combinação clássica ΔP/(ρ c Δv). Mas, usando apenas ρ, Δv e L, sai ΔP/(ρ Δv²).
    Fica:
    Π1 = ΔPrho,Δv^2
  2. Π₂ com μ (viscosidade):
    Para anular M, L, T em μ·ρᵃ·Δvᵇ·Lᶜ, obtém o inverso do número de Reynolds. A forma mais conhecida é:
    Π2 = rho,Δv,Lmu(Reynolds)
  3. Π₃ com t (tempo de manobra):
    Combinação natural: tempo dividido pelo tempo convectivo L/Δv, ou seja:
    Π3 = Δv,tL
  4. Π₄ com c (velocidade da onda):
    É a razão entre a velocidade de escoamento Δv e a velocidade da onda c, um “Mach” hidráulico:
    Π4 = Δvc

Resposta

Os quatro números adimensionais que regem o golpe de aríete são:
  1. Pi1 = ΔPrho,Δv^2
  2. Pi2 = rho,Δv,Lmu(Reynolds)
  3. Pi3 = Δv,tL
  4. Pi4 = Δvc

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