Em uma impressora 3D existem dois eixos ocos com diâmetros internos de 40 mm e diâmetros externos de 100 mm . Determine qual a tensão de cisalhamento a que estarão submetidos quando o torque imposto neles for de 15000 N.m?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma impressora 3D que tem dois eixos ocos com diâmetros internos de 40 mm e diâmetros externos de 100 mm. A gente precisa descobrir qual é a tensão de cisalhamento que esses eixos vão sofrer quando um torque de 15000 N.m é aplicado. Vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre torques e tensões em eixos circulares ocos.
Passo 2
Primeiro, vamos converter os diâmetros em raios, já que nas fórmulas a gente trabalha com raios. O diâmetro interno é 40 mm, então o raio interno $ R_i $ é metade disso:
O diâmetro externo é 100 mm, então o raio externo $ R_o $ é:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o momento polar de inércia $ J $ para um eixo oco. Essa medida ajuda a entender como o material resiste ao torque aplicado. A fórmula para $ J $ de um eixo oco é:
Vamos calcular isso com nossos raios:
Primeiro, vamos calcular $ 50^4 $ e $ 20^4 $:
Subtraindo:
Então:
Passo 4
Agora vamos calcular a tensão de cisalhamento $ \tau $ usando a fórmula:
Onde:
- $ T $ é o torque aplicado (15000 N.m),
- $ r $ é o raio externo (50 mm = 0.05 m),
- $ J $ é o momento polar de inércia que já calculamos.
Antes de substituir, vamos garantir que as unidades estejam compatíveis. Vamos converter $ J $ de mm⁴ para m⁴:
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Calculando o numerador:
Então:
Convertendo para megapascals (MPa):
Resposta
A tensão de cisalhamento nos eixos é de aproximadamente 78,3 MPa.