Em uma impressora 3D existem dois eixos ocos com diâmetros internos de 40 mm e diâmetros externos de 100 mm . Determine qual a tensão de cisalhamento a que estarão submetidos quando o torque imposto neles for de 15000 N.m?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma impressora 3D que tem dois eixos ocos com diâmetros internos de 40 mm e diâmetros externos de 100 mm. A gente precisa descobrir qual é a tensão de cisalhamento que esses eixos vão sofrer quando um torque de 15000 N.m é aplicado. Vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre torques e tensões em eixos circulares ocos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os diâmetros em raios, já que nas fórmulas a gente trabalha com raios. O diâmetro interno é 40 mm, então o raio interno $ R_i $ é metade disso:
Ri
O diâmetro externo é 100 mm, então o raio externo $ R_o $ é:
Ri = 40 , mm2 = 20 , mm

Passo 3

Agora, precisamos calcular o momento polar de inércia $ J $ para um eixo oco. Essa medida ajuda a entender como o material resiste ao torque aplicado. A fórmula para $ J $ de um eixo oco é:
J
Vamos calcular isso com nossos raios:
J
Primeiro, vamos calcular $ 50^4 $ e $ 20^4 $:
J = pi2 ( Ro^4 - Ri^4 )
J = pi2 ( 50^4 - 20^4 )
Subtraindo:
50^4
Então:
20^4

Passo 4

Agora vamos calcular a tensão de cisalhamento $ \tau $ usando a fórmula:
tau
Onde:
  • $ T $ é o torque aplicado (15000 N.m),
  • $ r $ é o raio externo (50 mm = 0.05 m),
  • $ J $ é o momento polar de inércia que já calculamos.
Antes de substituir, vamos garantir que as unidades estejam compatíveis. Vamos converter $ J $ de mm⁴ para m⁴:
tau = T cdot rJ

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
tau = 15000 , Nm times 0.05 , m9.58 times 10^-6 , m^4
Calculando o numerador:
15000 times 0.05 = 750 , Nm^2
Então:
tau = 7509.58 times 10^-6 approx 7.83 times 10^7 , Pa
Convertendo para megapascals (MPa):
7.83 times 10^7 , Pa = 78.3 , MPa

Resposta

A tensão de cisalhamento nos eixos é de aproximadamente 78,3 MPa.

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