Querosene a
é bombeado através de um tubo liso de 25 cm de diâmetro, com 4 km de comprimento, a uma vazão de
. A entrada é alimentada por uma bomba à pressão absoluta de
. A saída está à pressão atmosférica padrão, 150 m mais alta. Estime a perda por atrito
, e a compare com a altura de velocidade
. Utilize os dados da densidade do querosene a 1 atm . e
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (peguei a densidade do querosene em tabela à
; explicito o valor abaixo).
Dados fornecidos:
- Diâmetro do tubo:
. - Comprimento do tubo:
. - Vazão volumétrica:
. - Temperatura:
. - Pressão absoluta na entrada (saída da bomba):
. - Saída: pressão atmosférica padrão, tomo
. A saída está mais alta que a entrada, isto é . - Dado físico utilizado (peguei em tabela para querosene a
): densidade aproximada . (Se preferir outro valor de tabela, a conta segue igual, só muda o número final.) - Aceleração da gravidade:
.
O enunciado pede:
- Estimar a perda por atrito
entre a entrada (descarga da bomba) e a saída (atm, 150 m acima). - Comparar
com a altura de velocidade .
Passo 2
Calcular a velocidade média
no tubo a partir de
e da área da seção transversal.
Fórmula da área de um tubo circular:
onde
é o diâmetro.
Cálculo da área:
Velocidade média:
Breve explicação didática:
(m³/s) é área (m²) vezes velocidade (m/s). Para achar
isolamos
. Fácil — a mesma conta que se faz numa caneta larga ou estreita: a mesma vazão dá velocidades diferentes conforme a área.
Passo 3
Calcular a altura de velocidade (velocity head)
.
Fórmula:
onde
é a velocidade média e
é a gravidade.
Cálculo:
Interpretação simples: a energia cinética do fluido corresponde a uma “altura” muito pequena (cerca de
), porque a velocidade é baixa.
Passo 4
Usar a equação de energia (Bernoulli/energia) entre a seção de saída da bomba (ponto 1) e a saída do tubo (ponto 2) para obter a perda por atrito
.
Forma apropriada (para regime estacionário, mesma velocidade nas seções, sem trocas de energia além da perda por atrito):
Explicando variáveis:
-
são pressões absolutas nas seções 1 e 2 (Pa). -
é a densidade do fluido (kg/m³). -
é a gravidade (m/s²). -
são as velocidades médias nas seções (m/s). -
são as alturas das seções (m). -
é a perda de carga por atrito (m) que queremos.
Como o diâmetro é o mesmo,
e os termos de velocidade se cancelam. Isolando
:
Ou seja, a perda de carga por atrito é a diferença de energia por pressão convertida em altura, menos a diferença de altitude que o fluido ganhou.
Passo 5
Calcular numericamente cada termo da expressão de
.
Diferença de pressão:
Converter essa diferença para “metros de fluido” dividindo por
:
Agora subtrair a elevação
:
Conclusão numérica: a perda por atrito estimada a partir das pressões e da diferença de cota é aproximadamente
.
Passo 6
Comparar
com a altura de velocidade
.
Valores já calculados:
Razão:
Interpretação: a perda por atrito (avaliada a partir da diferença de pressão e elevação) é enorme comparada com a pequena altura de velocidade — cerca de vinte e quatro mil vezes maior. Em palavras: a energia adicionada pela bomba, expressa pela pressão alta, corresponde a uma cabeça (altitude equivalente) grande; a componente cinética do escoamento é insignificante aqui.
Passo 7
(Verificação física rápida e comentário didático.)
É interessante verificar se a perda por atrito calculada pela fórmula de Darcy–Weisbach com um fator de atrito típico dá um valor semelhante ou muito menor — isto ajuda a entender se a grande
vem de atrito real ou de um grande excesso de pressão na bomba.
Estimo rapidamente o número de Reynolds e a perda por Darcy:
- Tomando uma viscosidade dinâmica típica para querosene à
(valor típico; ),
escoamento turbulento, moderado.
- Blasius (válido para tubos lisos e
) dá:
- Perda de carga por Darcy–Weisbach:
Comentário: o cálculo pela equação de Darcy dá uma perda por atrito da ordem de
, muito menor que os
obtidos a partir dos valores de pressão e elevação. Isso indica que a maioria da “cabeça” calculada a partir da diferença de pressão não está sendo dissipada por atrito ao longo do tubo; em vez disso, a bomba está fornecendo uma pressão absoluta muito alta (ponto de operação da bomba), de modo que a diferença de pressão convertida em cabeça é grande. Em termos práticos isso pode significar que a bomba está entregando pressão em excesso (talvez há válvulas, restrições ou o enunciado deu a pressão absoluta da descarga da bomba sem relação direta com a queda de pressão no tubo). De qualquer forma, a comparação pedida mostra numericamente a grande discrepância entre as duas estimativas.