Imu nu=integralV(de
onde rho(r) é a densidade volumétrica de massa avaliada no ponto r do volume V ocupado pelo corpo rígido. A quantidade r denota o módulo de r e xmu denota as componentes retangulares de r. Verifique, assumindo a regra de transformação para as componentes xmu, que Imu nu se transforma como as componentes de um tensor de ordem 2.

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos o “tensor de inércia”
Imunu=integralVl(de
onde
- de é o delta de Kronecker (1 se mu=nu, 0 caso contrário),
- r^2 = x1^2 + x2^2 + x3^2 é o quadrado do módulo do vetor posição,
- xmu são as componentes desse vetor posição,
- rho( r) é a densidade de massa,
- e dV é o elemento de volume.
O que a gente quer mostrar é que, se a gente faz uma mudança de base ortonormal (tipo uma rotação)
x'mu = Lmu^;alpha,xalpha,,
onde L é a matriz de transformação, então Imunu muda direitinho como um tensor de ordem 2:
I'munu = Lmu^;alpha,Lnu^;beta,Ialphabeta,
Para isso a gente vai precisar:
  • Saber como transformam xmu, de e r^2;
  • Usar que a densidade rho( r) é escalar e que o elemento de volume dV é invariante em rotações.

Passo 2

Primeiro, vamos ver como cada pedacinho do integrando vira na base nova.
  1. Componente do vetor:
x'mu = Lmu^;alpha,xalpha,
2) Produto delas:
$$x’\mu,x’\nu = \bigl(L_{\mu}{;\alpha},x_\alpha\bigr),\bigl(L_{\nu}{;\beta},x_\beta\bigr)
= L_{\mu}{;\alpha},L_{\nu}{;\beta},x_\alpha,x_\beta,. x'mu,x'nu = l(Lmu^;alpha,xalphar),l(Lnu^;beta,xbetar) = Lmu^;alpha,Lnu^;beta,xalpha,xbeta, \delta’{\mu\nu} = L{\mu}{;\alpha},L_{\nu}{;\beta},\delta_{\alpha\beta}, $$
porque o delta é a métrica Euclidiana, que é preservada por de.
4) O termo L é invariante em rotações, então
r^2 = xalpha,xalpha

Passo 3

Agora monta o integrando na base nova:
$$I’_{\mu\nu}
=\int_V\bigl(\delta’{\mu\nu},r’^2 - x’\mu,x’\nu\bigr),\rho(\mathbf r),dV,. I'munu =integralVl(deçõ\delta’{\mu\nu},r’^2
= \bigl(L_{\mu}{;\alpha}L_{\nu}{;\beta}\delta_{\alpha\beta}\bigr),r^2
= L_{\mu}{;\alpha}L_{\nu}{;\beta},\delta_{\alpha\beta},r^2 dex’\mu,x’\nu
= L_{\mu}{;\alpha}L_{\nu}{;\beta},x_\alpha,x_\beta,. $$
Então
x'mu,x'nu = Lmu^;alphaLnu^;beta,xalpha,xbeta,

Passo 4

Note que tem fator Lmu^;alphaLnu^;beta em todo mundo, e rho,dV não muda (escalares e invariante). Então podemos tirar isso pra fora da integral:
I'munu = Lmu^;alpha,Lnu^;beta, integralVl(de

Resposta

Mostramos direitinho que
boxedI'munu=Lmu^;alpha,Lnu^;beta,Ialphabeta,,
ou seja, Imunu realmente se comporta como as componentes de um tensor de segunda ordem.

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