onde
é a densidade volumétrica de massa avaliada no ponto
do volume
ocupado pelo corpo rígido. A quantidade
denota o módulo de
e
denota as componentes retangulares de
. Verifique, assumindo a regra de transformação para as componentes
, que
se transforma como as componentes de um tensor de ordem 2.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos o “tensor de inércia”
onde
-
-
-
-
- e
O que a gente quer mostrar é que, se a gente faz uma mudança de base ortonormal (tipo uma rotação)
onde
Para isso a gente vai precisar:
- Saber como transformam
, e ; - Usar que a densidade
é escalar e que o elemento de volume é invariante em rotações.
Passo 2
Primeiro, vamos ver como cada pedacinho do integrando vira na base nova.
- Componente do vetor:
2) Produto delas:
$$x’\mu,x’\nu = \bigl(L_{\mu}{;\alpha},x_\alpha\bigr),\bigl(L_{\nu}{;\beta},x_\beta\bigr)
= L_{\mu}{;\alpha},L_{\nu}{;\beta},x_\alpha,x_\beta,.
\delta’{\mu\nu} = L{\mu}{;\alpha},L_{\nu}{;\beta},\delta_{\alpha\beta}, $$
porque o delta é a métrica Euclidiana, que é preservada por
.
4) O termo é invariante em rotações, então
4) O termo
Passo 3
Agora monta o integrando na base nova:
$$I’_{\mu\nu}
=\int_V\bigl(\delta’{\mu\nu},r’^2 - x’\mu,x’\nu\bigr),\rho(\mathbf r),dV,.
\delta’{\mu\nu},r’^2
= \bigl(L_{\mu}{;\alpha}L_{\nu}{;\beta}\delta_{\alpha\beta}\bigr),r^2
= L_{\mu}{;\alpha}L_{\nu}{;\beta},\delta_{\alpha\beta},r^2
x’\mu,x’\nu
= L_{\mu}{;\alpha}L_{\nu}{;\beta},x_\alpha,x_\beta,. $$
Então
Passo 4
Note que tem fator
em todo mundo, e
não muda (escalares e invariante). Então podemos tirar isso pra fora da integral:
Resposta
Mostramos direitinho que
ou seja,