Uma mistura quimicamente reativa é armazenada em um recipiente esférico com paredes finas, de raio r1=200 mm. A reação exotérmica gera calor a uma taxa volumétrica uniforme e dependente da temperatura na forma dotq=dotq0 exp (-A / T0), onde dotq0=5000 W / m^3, A=75 Ke T T0 é a temperatura da mistura em kelvin. O recipiente é envolto por uma camada de material isolante que possui raio externo r2, condutividade térmica k e emissividade varepsilon. A superfície externa do isolamento troca calor por convecção e radiação com o ar adjacente e uma grande vizinhança, respectivamente.
Utilizando a lei de Fourier, mostre que a taxa de transferência de calor por condução através do isolamento pode ser representada por qr=4 pi k(Ts, 1-Ts, 2)(1 / r1)-(1 / r2). Fazendo um balanço de energia em
uma superfície de controle envolvendo o recipiente, obtenha uma expressão alternativa para qr, expressando o seu resultado em termos de dotq e r1.

Passo 1

Tranquilo, vamos recapitular o que o problema pede. A gente tem uma esfera de raio que gera calor por reação (taxa volumétrica constante). Em volta dela há um isolante até raio .
Conteúdo: condução de calor em coordenadas esféricas (Lei de Fourier) e balanço de energia (estado estacionário).
O que precisamos:
  1. Usar a Lei de Fourier para uma casca esférica e integrar de a .
  2. Fazer balanço de energia no volume da esfera para relacionar a geração interna com a taxa de calor que sai, .

Passo 2

Aplicando a Lei de Fourier em coordenadas esféricas, em regime permanente a taxa de calor condutor qr ;=;-,k,A(r),dTdrcom A(r)=4pi r^2 é constante com qr = -,k,(4pi r^2),dTdr ;Longrightarrow; qr4pi k,drr^2 = -,dT . A expressão diferencial é
integralTs,1^Ts,2 dT = -qr4pi kintegralr1^r2drr^2 ;Longrightarrow; Ts,2-Ts,1 = -qr4pi kl[-1rr]r1^r2
Rearranjando e integrando de Ts,2-Ts,1 = qr4pi kl(1r2-1r1r) ;Longrightarrow; qr = 4pi k,(Ts,1-Ts,2)1r1-1r2 a :
Integramos:

Passo 3

Agora o balanço de energia na esfera de raio qr = Qrm >=rada = integralrm esferadot q,dV = dot q;l(tfrac43pi r1^3r) . Em regime permanente a taxa de calor gerada internamente tem de sair pela condução, ou seja

Resposta

Expressões obtidas:
  1. Pela condução no isolante:
qr = 4pi k,(Ts,1-Ts,2)1r1-1r2
  1. Pelo balanço de energia na esfera:
qr = dot q;4pi r1^33

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