Uma mistura quimicamente reativa é armazenada em um recipiente esférico com paredes finas, de raio
. A reação exotérmica gera calor a uma taxa volumétrica uniforme e dependente da temperatura na forma
, onde
é a temperatura da mistura em kelvin. O recipiente é envolto por uma camada de material isolante que possui raio externo
, condutividade térmica k e emissividade
. A superfície externa do isolamento troca calor por convecção e radiação com o ar adjacente e uma grande vizinhança, respectivamente.
Utilizando a lei de Fourier, mostre que a taxa de transferência de calor por condução através do isolamento pode ser representada por
. Fazendo um balanço de energia em
uma superfície de controle envolvendo o recipiente, obtenha uma expressão alternativa para
, expressando o seu resultado em termos de
e
.
Utilizando a lei de Fourier, mostre que a taxa de transferência de calor por condução através do isolamento pode ser representada por
uma superfície de controle envolvendo o recipiente, obtenha uma expressão alternativa para
Passo 1
Tranquilo, vamos recapitular o que o problema pede. A gente tem uma esfera de raio
que gera calor por reação (taxa volumétrica
constante). Em volta dela há um isolante até raio
.
Conteúdo: condução de calor em coordenadas esféricas (Lei de Fourier) e balanço de energia (estado estacionário).
O que precisamos:
Conteúdo: condução de calor em coordenadas esféricas (Lei de Fourier) e balanço de energia (estado estacionário).
O que precisamos:
- Usar a Lei de Fourier para uma casca esférica e integrar de
a . - Fazer balanço de energia no volume da esfera para relacionar a geração interna
com a taxa de calor que sai, .
Passo 2
Aplicando a Lei de Fourier em coordenadas esféricas, em regime permanente a taxa de calor condutor
é constante com
. A expressão diferencial é
Rearranjando e integrando de
a
:
Integramos:
Passo 3
Agora o balanço de energia na esfera de raio
. Em regime permanente a taxa de calor gerada internamente tem de sair pela condução, ou seja
Resposta
Expressões obtidas:
- Pela condução no isolante:
- Pelo balanço de energia na esfera: