psin l(r)=psin l(x, y)=(2L) sin (kn x) sin (kl y), onde kn=n piL e kl=l piL
sendo n, l=1,2,3, ldots os números quânticos de energia. A quantidade a seguir,
On^prime l^prime n l=integralA d A O(r) psin^prime l^prime(r) psin l(r), onde A=L^2 e d A=d x d y
é chamada de elemento de matriz de uma quantidade física O que seja função da posição r. Compare a expressão anterior com os elementos não diagonais dos tensores de 2 ordem exemplificados nos problemas anteriores. É possível, a partir dessa comparação conjecturar que On^prime l^prime n l seria uma componente de um tensor? Se sim, um tensor de que ordem? Quais quantidades na expressão anterior deveriam então se transformar como vetores?

Passo 1

O enunciado nos dá as funções de onda do “poço quadrado 2D”
On'l',nl =integralA !dx,dy;O(x,y);psin'l'(x,y),psinl(x,y),
e define o elemento de matriz de uma quantidade como
com .
Conteúdo: matriz de componentes, conceito de tensor e sua ordem.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é “ordem” de um tensor (número de índices).
  • Comparar com o caso de um tensor de ordem 2 (componentes ).
  • Ver como cada índice em exige que algo se transforme como vetor.

Passo 2

Relembre que um tensor de ordem 2 tem exatamente dois índices, por exemplo
Tij,,
e sob mudança de base cada índice “puxa” um fator de transformação (ou seja, os vetores associados a esses índices mudam de componente como vetores).
No nosso caso nós escrevemos
On'l',nl,
e vemos que há quatro índices livres: , , e . Cada um desses índices corresponde a uma “direção” discreta no espaço dos estados quânticos.

Passo 3

De modo geral, a “ordem” de um tensor é o número de índices que ele leva.
  • Tensores de ordem 0 são escalares, sem índice.
  • Tensores de ordem 1 são vetores, com um índice (ex.: ).
  • Tensores de ordem 2 têm dois índices (ex.: ).
    Então, como tem quatro índices, ele se comporta como um tensor de quarta ordem.

Passo 4

Em qualquer transformação (por exemplo, rotação nos eixos ou mudança de base no espaço de estados quânticos), cada índice do tensor vai misturar componentes como faz um vetor. Logo, para que transforme como tensor de 4ª ordem, são necessárias quatro “entidades vetoriais” que carreguem esses índices.

Passo 5

Na expressão
On'l',nl =integral d x,d y;O(x,y);psin'l'(x,y),psinl(x,y),
as quantidades que devem transformar como vetores (cada uma “carregando” dois índices, no caso dos pares psin'l'(x,y) e psinl(x,y), e ) são justamente as funções de onda
Elas são os “vetores” nos quais o tensor atua .

Resposta

Sim, é componente de um tensor de quarta ordem.
As quantidades que se transformam como vetores (isto é, que “carregam” cada um dos pares de índices) são as funções de onda e .

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