phiq(r)=14 pi epsilon0 summu, nu 12 xmu xnur^5 Qmu nu, onde Qmu nu=integralV(3 xmu^prime xnu^prime-de
é o tensor do momento de quadrupolo. Na expressão anterior, xmu denota as componentes retangulares do vetor r, que fornece o ponto onde o potencial está sendo avaliado, e xmu^prime denota as componentes retangulares do vetor r^prime, que fornece a posição do elemento de volume d V^prime e sobre as quais a integral é feita (em outras palavras, r e r^prime são dois vetores diferentes no mesmo sistema de coordenadas!). As quantidades r e r^prime denotam, respectivamente, os módulos dos vetores r e r^prime. Mostre que Qmu nu se transforma como um tensor de ordem 2.

Passo 1

Beleza, vamos provar que
Qmunu=integralVl(3x'mu x'nu-de
é um tensor de segunda ordem.
Conteúdo: teoria de tensores e como objetos de índice transformam sob mudança de base (rotação, por exemplo).
O que precisamos:
  1. saber que sob uma rotação (ou mudança ortonormal de base) as componentes transformam por ;
  2. o volume e a densidade são invariantes;
  3. o delta de Kronecker também não muda.

Passo 2

Escreve a definição de widetilde Qalphabeta =integralVl(3,widetilde xalpha,widetilde xbeta -de no novo sistema de coordenadas (vou chamar de “til” para não confundir essa transformação com o primado da definição original):
widetilde xalpha =aalphamu,xmu e widetilde r^2=sumgammawidetilde xgamma^2 =sumgamma(agammamuxmu)(agammanuxnu) =de
Agora, pela regra de transformação de vetor em base ortonormal,
onde usei .

Passo 3

Substitui tudo em widetilde Qalphabeta =integralV!l(3,(aalphamuxmu)(abetanuxnu) -de:
widetilde Qalphabeta =integralVl(aalphamuabetanu,3,xmu xnu -de
Como a rotação é ortonormal, o elemento de volume não muda: widetilde Qalphabeta =aalphamuabetanu integralVl(3,xmu xnu-de.
Reorganizando cada termo dentro da integral:
Mas isso é exatamente

Resposta

Mostramos que, sob mudança ortonormal de base,
widetilde Qalphabeta =aalphamuabetanu,Qmunu,
logo se comporta como um tensor de ordem 2.

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