é o tensor do momento de quadrupolo. Na expressão anterior,
denota as componentes retangulares do vetor
, que fornece o ponto onde o potencial está sendo avaliado, e
denota as componentes retangulares do vetor
, que fornece a posição do elemento de volume
e sobre as quais a integral é feita (em outras palavras,
e
são dois vetores diferentes no mesmo sistema de coordenadas!). As quantidades
e
denotam, respectivamente, os módulos dos vetores
e
. Mostre que
se transforma como um tensor de ordem 2.
Passo 1
Beleza, vamos provar que
é um tensor de segunda ordem.
Conteúdo: teoria de tensores e como objetos de índice transformam sob mudança de base (rotação, por exemplo).
O que precisamos:
Conteúdo: teoria de tensores e como objetos de índice transformam sob mudança de base (rotação, por exemplo).
O que precisamos:
- saber que sob uma rotação (ou mudança ortonormal de base) as componentes transformam por
; - o volume
e a densidade são invariantes; - o delta de Kronecker
também não muda.
Passo 2
Escreve a definição de
no novo sistema de coordenadas (vou chamar de “til” para não confundir essa transformação com o primado da definição original):
Agora, pela regra de transformação de vetor em base ortonormal,
onde usei
.
Passo 3
Substitui tudo em
:
Como a rotação é ortonormal, o elemento de volume não muda:
.
Reorganizando cada termo dentro da integral:
Reorganizando cada termo dentro da integral:
Mas isso é exatamente
Resposta
Mostramos que, sob mudança ortonormal de base,
logo
se comporta como um tensor de ordem 2.