Two identical conducting plates, each having area
, are located at
and
. The region between plates is filled with a material having
-dependent conductivity,
, where
is a constant. Voltage
is applied to the plate at
; the plate at
is at zero potential. Find, in terms of the given parameters:
a) the resistance of the material: We start with the differential resistance of a thin slab of the material of thickness
, which is
b) the total current flowing between plates:
c) the electric field intensity
within the material:
a) the resistance of the material: We start with the differential resistance of a thin slab of the material of thickness
b) the total current flowing between plates:
c) the electric field intensity
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou deixar bem claro o que se pede e o que temos):
- Duas placas condutoras idênticas, cada uma com área
, estão em e . - A região entre as placas tem condutividade dependente de
:
com
constante.
- A placa em
está a potencial e a placa em está a potencial .
As perguntas são:
a) escrever o diferencial de resistência de uma lâmina de espessurae calcular a resistência total entre as placas;
b) achar a corrente total que percorre entre as placas;
c) achar o campo elétricodentro do material (em função de ).
Passo 2
Conceitos básicos que vamos usar (explicando passo a passo):
- Lei local de Ohm: a densidade de corrente
e o campo elétrico estão relacionados por
Aqui
tem unidades de corrente por área e
é a condutividade local.
- Para uma lâmina fina de espessura
e área , assumindo campo uniforme na seção transversal, a resistência diferencial dessa lâmina é a razão entre a diferença de potencial através dela e a corrente que passa por ela. Podemos obter uma expressão prática usando , e : - A queda de potencial na lâmina é
(com componente ao longo de ). - A densidade de corrente escalar é
. - A corrente total é
.
Logo a resistência da lâmina, definida por(magnitude), dá a forma padrão
- A queda de potencial na lâmina é
Esta é a expressão diferencial que usamos quando
varia com
.
Passo 3
Substituímos a condutividade dada na expressão de
. Como
, temos
Expliquei: multiplicamos numerador e denominador para expor o fator exponencial no numerador, ficando a expressão pronta para integrar.
Passo 4
Agora integramos
de
até
para obter a resistência total
:
Fatorando constantes:
Fazemos a integral
. Assim
Portanto
Passo 5
Corrente total
: pela lei de Ohm macroscópica entre placas temos
(tomando
como diferença de potencial entre
e
). Logo
Substituindo
:
Essa é a corrente total em módulo. Sobre o sentido: como a placa em
está a potencial maior, a corrente flui de
para
, isto é, no sentido negativo de
.
Passo 6
Campo elétrico
: primeiro veja que a densidade de corrente escalar
é constante com
(não há acúmulo de carga em regime estacionário e a área é constante), então
Para incluir o sentido,
(vetor apontando para
). Usando a lei local de Ohm
obtemos
Substituindo
e simplificando o exponencial:
Portanto o campo elétrico aumenta exponencialmente com
(em magnitude) e aponta no sentido
.
Passo 7
Pequena verificação (importante para provas): integrar o campo para recuperar a diferença de potencial:
confirmando consistência.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)