Two identical conducting plates, each having area A, are located at z=0 and z=d. The region between plates is filled with a material having z-dependent conductivity, \sigma(z)=\sigma_{0} e^{-z / d}, where \sigma_{0} is a constant. Voltage V_{0} is applied to the plate at z=d; the plate at z=0 is at zero potential. Find, in terms of the given parameters:
a) the resistance of the material: We start with the differential resistance of a thin slab of the material of thickness d z, which is
b) the total current flowing between plates:
c) the electric field intensity \mathbf{E} within the material:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou deixar bem claro o que se pede e o que temos):
  • Duas placas condutoras idênticas, cada uma com área A, estão em z=0 e z=d.
  • A região entre as placas tem condutividade dependente de z:
\sigma(z)=\sigma_{0} e^{-z/d},
com \sigma_{0} constante.
  • A placa em z=d está a potencial V(d)=V_{0} e a placa em z=0 está a potencial V(0)=0.
    As perguntas são:
    a) escrever o diferencial de resistência de uma lâmina de espessura dz e calcular a resistência total entre as placas;
    b) achar a corrente total que percorre entre as placas;
    c) achar o campo elétrico \mathbf{E} dentro do material (em função de z).

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicando passo a passo):
  • Lei local de Ohm: a densidade de corrente \mathbf{J} e o campo elétrico \mathbf{E} estão relacionados por
\mathbf{J}=\sigma(z)\,\mathbf{E}.
Aqui \mathbf{J} tem unidades de corrente por área e \sigma(z) é a condutividade local.
  • Para uma lâmina fina de espessura dz e área A, assumindo campo uniforme na seção transversal, a resistência diferencial dR dessa lâmina é a razão entre a diferença de potencial através dela e a corrente que passa por ela. Podemos obter uma expressão prática usando E, \sigma e J:
    • A queda de potencial na lâmina é dV = -E_z\,dz (com E_z componente ao longo de z).
    • A densidade de corrente escalar é J_z=\sigma(z)E_z.
    • A corrente total é I = J_z A.
      Logo a resistência da lâmina, definida por dR = \dfrac{dV}{I} (magnitude), dá a forma padrão
dR = \frac{dz}{\sigma(z)\,A}.
Esta é a expressão diferencial que usamos quando \sigma varia com z.

Passo 3

Substituímos a condutividade dada na expressão de dR. Como \sigma(z)=\sigma_{0} e^{-z/d}, temos
dR = \frac{dz}{\sigma_{0} e^{-z/d}\,A} = \frac{e^{z/d}}{\sigma_{0} A}\,dz.
Expliquei: multiplicamos numerador e denominador para expor o fator exponencial no numerador, ficando a expressão pronta para integrar.

Passo 4

Agora integramos dR de z=0 até z=d para obter a resistência total R:
R=\int_{0}^{d} dR = \int_{0}^{d} \frac{e^{z/d}}{\sigma_{0} A}\,dz.
Fatorando constantes:
R=\frac{1}{\sigma_{0} A}\int_{0}^{d} e^{z/d}\,dz.
Fazemos a integral \int e^{z/d}\,dz = d\,e^{z/d}. Assim
R=\frac{1}{\sigma_{0} A}\Big[ d\,e^{z/d}\Big]_{0}^{d} = \frac{d}{\sigma_{0} A}\big(e^{1}-1\big).
Portanto
R=\frac{d}{\sigma_{0} A}\big(e-1\big).

Passo 5

Corrente total I: pela lei de Ohm macroscópica entre placas temos V_{0}=I\,R (tomando V_{0} como diferença de potencial entre z=d e z=0). Logo
I=\frac{V_{0}}{R}.
Substituindo R:
I=\frac{V_{0}}{\dfrac{d}{\sigma_{0} A}(e-1)} = \frac{\sigma_{0} A\,V_{0}}{d\,(e-1)}.
Essa é a corrente total em módulo. Sobre o sentido: como a placa em z=d está a potencial maior, a corrente flui de z=d para z=0, isto é, no sentido negativo de \hat{z}.

Passo 6

Campo elétrico \mathbf{E}(z): primeiro veja que a densidade de corrente escalar J_z é constante com z (não há acúmulo de carga em regime estacionário e a área é constante), então
J_z=\frac{I}{A}=\frac{\sigma_{0} V_{0}}{d\,(e-1)}.
Para incluir o sentido, \mathbf{J} = -\hat{z}\,J_z (vetor apontando para -\hat{z}). Usando a lei local de Ohm \mathbf{J}=\sigma(z)\mathbf{E}(z) obtemos
\mathbf{E}(z)=\frac{\mathbf{J}}{\sigma(z)} = -\hat{z}\,\frac{J_z}{\sigma_{0} e^{-z/d}}.
Substituindo J_z e simplificando o exponencial:
\mathbf{E}(z) = -\hat{z}\,\frac{\dfrac{\sigma_{0} V_{0}}{d\,(e-1)}}{\sigma_{0} e^{-z/d}} = -\hat{z}\,\frac{V_{0}}{d\,(e-1)}\,e^{z/d}.
Portanto o campo elétrico aumenta exponencialmente com z (em magnitude) e aponta no sentido -\hat{z}.

Passo 7

Pequena verificação (importante para provas): integrar o campo para recuperar a diferença de potencial:
V(d)-V(0) = -\int_{0}^{d} E_z\,dz = -\int_{0}^{d}\Big(-\frac{V_{0}}{d(e-1)}e^{z/d}\Big)\,dz = \frac{V_{0}}{d(e-1)}\int_{0}^{d} e^{z/d}dz = \frac{V_{0}}{d(e-1)}\cdot d(e-1) = V_{0},
confirmando consistência.

Resposta

a) dR=\dfrac{dz}{\sigma_{0} e^{-z/d}\,A}=\dfrac{e^{z/d}}{\sigma_{0} A}\,dz \,;\, R=\dfrac{d}{\sigma_{0} A}\big(e-1\big)
b) I=\dfrac{\sigma_{0} A\,V_{0}}{d\,(e-1)}
c) \displaystyle \mathbf{E}(z)=-\hat{z}\,\frac{V_{0}}{d\,(e-1)}\,e^{z/d}

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