In cylindrical coordinates,
.
What is the total charge in a
length, including both surface charges?
What is the total charge in a
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que em coordenadas cilíndricas o potencial no espaço entre dois cilindros concêntricos (raios internos e externos, digamos
e
) é
e a gente quer achar a carga total em 1 m de comprimento, incluindo a carga que fica “presa” nas superfícies interna e externa dos cilindros.
Conteúdo: eletrostática básica (campo elétrico, densidade de carga superficial, uso de e
).
O que vamos precisar:
Conteúdo: eletrostática básica (campo elétrico, densidade de carga superficial, uso de
O que vamos precisar:
- calcular
a partir de , - extrair a densidade de carga superficial
em e em , - integrar
sobre cada superfície (no comprimento de 1 m).
Passo 2
Calcular o campo elétrico em coordenadas cilíndricas:
e como não há dependência em
nem em
, só temos componente radial.
Passo 3
Agora, densidade de carga superficial em cada condutor. Na superfície interna (
) o vetor normal aponta para fora (direção
), então
Na superfície externa (
) o normal da região do dielétrico para o condutor aponta para dentro do dielétrico (em
), então
(Em eletricidade de materiais condutores, a carga superficial é
, com
sendo a componente de
apontando para dentro do condutor.)
Passo 4
Integramos sobre cada superfície (comprimento
m):
- Carga na superfície interna:
- Carga na superfície interna:
- Carga na superfície externa:
Somando as duas (a carga total na região condutora) dá