In cylindrical coordinates, V=1000 rho^2.
What is the total charge in a 1-m length, including both surface charges?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que em coordenadas cilíndricas o potencial no espaço entre dois cilindros concêntricos (raios internos e externos, digamos V(rho)=1000,rho^2 e ) é
e a gente quer achar a carga total em 1 m de comprimento, incluindo a carga que fica “presa” nas superfícies interna e externa dos cilindros.
Conteúdo: eletrostática básica (campo elétrico, densidade de carga superficial, uso de e ).
O que vamos precisar:
  1. calcular a partir de ,
  2. extrair a densidade de carga superficial em e em ,
  3. integrar sobre cada superfície (no comprimento de 1 m).

Passo 2

Calcular o campo elétrico em coordenadas cilíndricas:
E(rho);=;-,nabla V Longrightarrow Erho ;=; -partialpartialrhol(1000,rho^2r) ;=;-2000,rho
e como não há dependência em nem em , só temos componente radial.

Passo 3

Agora, densidade de carga superficial em cada condutor. Na superfície interna ( sigmaa ;=;varepsilon0,Erho(a) ;=;varepsilon0l[-2000,ar] ;=;-2000,varepsilon0,a ) o vetor normal aponta para fora (direção sigmab ;=;varepsilon0,En ;=;varepsilon0l[+!2000,br] ;=;2000,varepsilon0,b ), então
Na superfície externa ( ) o normal da região do dielétrico para o condutor aponta para dentro do dielétrico (em ), então
(Em eletricidade de materiais condutores, a carga superficial é , com sendo a componente de apontando para dentro do condutor.)

Passo 4

Integramos sobre cada superfície (comprimento Qa ;=;sigmaa;(2pi a,L) ;=;-2000,varepsilon0,a;times;2pi a;(1) ;=;-4000pi,varepsilon0,a^2 m):
- Carga na superfície interna:
Qb ;=;sigmab;(2pi b,L) ;=;2000,varepsilon0,b;times;2pi b;(1) ;=;4000pi,varepsilon0,b^2
- Carga na superfície externa:
Qrm total =Qa + Qb =4000pi,varepsilon0,(b^2 - a^2)
Somando as duas (a carga total na região condutora) dá

Resposta

boxedQrm total=4000pi,varepsilon0,(b^2 - a^2)(para 1 m de comprimento)

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