In each of Problems 11 through 28 find the general solution of the given differential equation.
y^(6)+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
y^(6) + y = 0
O conteúdo que vamos usar é o método da equação característica: assumimos y=e^r x e obtemos um polinômio em r.

Passo 2

Assumindo y=e^r x, temos
y^(6)+y = r^6 e^r x + e^r x = (r^6+1)e^r x=0
Como e^r xneq0, a equação característica é
r^6 + 1 = 0 Longrightarrow r^6 = -1

Passo 3

Escrevendo -1 = e^i(pi+2pi n), as raízes são
rk = e^ipi+2pi n6 = e^i(2n+1)pi6, n=0,1,2,3,4,5
Os ângulos thetak=(2n+1)pi/6 dão seis raízes conjugadas, que se agrupam em três pares:
theta=pmpi6, theta=pmpi2, theta=pm5pi6

Passo 4

Para cada par theta e -theta, temos r=costheta + isintheta e sua conjugada, gerando a parte real
e^costheta,xl(Ccos(sintheta,x)+Dsin(sintheta,x)r)
Aplicando aos três pares:
theta=pi6:; costheta=raiz32,;sintheta=12 ;Longrightarrow; e^raiz32xl(C1costfrac x2 + C2sintfrac x2r),
theta=5pi6:; costheta=-raiz32,;sintheta=12 ;Longrightarrow; e^-raiz32xl(C3costfrac x2 + C4sintfrac x2r),
theta=pi2:; costheta=0,;sintheta=1 ;Longrightarrow; C5cos x + C6sin x

Resposta

y(x) = e^raiz32xl(C1costfrac x2 + C2sintfrac x2r) + e^-raiz32xl(C3costfrac x2 + C4sintfrac x2r) + C5cos x + C6sin x,
onde C1,dots,C6 são constantes arbitrárias.

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