In each of Problems 11 through 28 find the general solution of the given differential equation.
y^prime prime prime-y^prime prime-y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' - y'' - y' + y = 0
Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo na EDO obtemos a equação característica
r^3 - r^2 - r + 1 = 0

Passo 3

Fatoramos por agrupamento:
r^3 - r^2 - r + 1 = r^2(r-1) -1(r-1) = (r^2-1)(r-1) = (r-1)(r+1)(r-1)
Portanto as raízes são
r = 1(mu<iplicidade 2), r = -1(mu<iplicidade 1)

Passo 4

Como r=1 é raiz dupla e r=-1 é raiz simples, a solução geral é
y = C1e^x + C2,x,e^x + C3e^-x,
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y = C1e^x + C2x e^x + C3e^-x

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