In each of Problems 11 through 28 find the general solution of the given differential equation.
y^(6)-y^prime prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de sexta ordem com coeficientes constantes
y^(6) - y'' = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada, trocando D por r:
r^6 - r^2 = 0
Fatorando, temos
r^2,(r^4 - 1) = r^2,(r^2 - 1),(r^2 + 1) = 0,
logo as raízes são
r = 0 (mu<iplicidade 2), r = pm 1, r = pm i

Passo 3

Cada raiz simples r0 gera a solução e^r0 x e raiz dupla gera e^r0 x e x e^r0 x. Assim, para r=0 (dupla) as soluções são 1 e x; para r=pm1 são e^x e e^-x; e para r=pm i são cos x e sin x.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1 + C2,x + C3,e^x + C4,e^-x + C5,cos x + C6,sin x,
onde C1,dots,C6 são constantes arbitrárias.

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