In each of Problems 15 through 20, using integration by parts, find the Laplace transform of the given function; n is a positive integer and a is a real constant.
t \sin a t

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a transformada de Laplace da função \;t\sin(at)\;, onde a é constante real. Vou anotar claramente o que foi dado e o que se pede:
  • Dado: a função f(t)=t\sin(at) para t\ge0.
  • Pedido: calcular \displaystyle \mathcal{L}\{t\sin(at)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t\sin(at)\,dt.

Passo 2

Lembrete rápido (ferramenta que vamos usar): a fórmula de integração por partes para integrais indefinidas é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u=u(t) e v é uma primitiva de dv. Para integrais impróprias (como a transformada de Laplace) aplicamos a versão definida:
\int_{0}^{\infty} u\,dv = \left[uv\right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du,
desde que os limites existam. Vamos aplicar essa regra ao integral \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t\sin(at)\,dt.

Passo 3

Escolha de partes (escolha que simplifica): toma-se
u = t\sin(at), \qquad dv = e^{-st}\,dt.
Então
du = \big(\sin(at) + at\cos(at)\big)\,dt, \qquad v = \int e^{-st}\,dt = -\frac{1}{s}e^{-st},
assumindo s>0 para garantir convergência das integrais impropriamente definidas.
Aplicando integração por partes na integral da transformada:
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t\sin(at)\,dt = \left[-\frac{1}{s}e^{-st}\,t\sin(at)\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\big(\sin(at)+at\cos(at)\big)\,dt.

Passo 4

Avaliação do termo de contorno: o termo \left[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\,t\sin(at)\right]_{0}^{\infty} vale zero porque
\lim_{t\to\infty} t e^{-st}\sin(at)=0
quando s>0 (a exponencial domina o crescimento linear) e no t=0 o produto é zero também. Assim ficamos com
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t\sin(at)\,dt = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt + \frac{a}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t\cos(at)\,dt.
Note que agora apareceu uma nova integral com fator t, mas com \cos(at) em vez de \sin(at).

Passo 5

Vamos eliminar a integral com t\cos(at) usando integração por partes novamente. Para a integral
\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t\cos(at)\,dt escolhemos
u = t\cos(at), \qquad dv = e^{-st}\,dt,
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du = \big(\cos(at) - at\sin(at)\big)\,dt, \qquad v = -\frac{1}{s}e^{-st}.
Aplicando partes:
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t\cos(at)\,dt = \left[-\frac{1}{s}e^{-st}\,t\cos(at)\right]_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\big(\cos(at)-at\sin(at)\big)\,dt.
Novamente o termo de contorno é zero (mesma justificativa), portanto
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t\cos(at)\,dt = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(at)\,dt - \frac{a}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t\sin(at)\,dt.

Passo 6

Agora substituímos essa expressão na relação obtida no Passo 4. Denotando
I = \int_{0}^{\infty} e^{-st}\,t\sin(at)\,dt,
temos do Passo 4:
I = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt + \frac{a}{s}\left(\frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(at)\,dt - \frac{a}{s}I\right).
Reorganizando:
I = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt + \frac{a}{s^{2}}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(at)\,dt - \frac{a^{2}}{s^{2}}I.
Passe o termo com I à mesma mão:
I\left(1+\frac{a^{2}}{s^{2}}\right) = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt + \frac{a}{s^{2}}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(at)\,dt.
Ou seja,
I\cdot\frac{s^{2}+a^{2}}{s^{2}} = \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt + \frac{a}{s^{2}}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(at)\,dt.

Passo 7

As integrais sem o fator t são as transformadas de Laplace conhecidas:
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(at)\,dt = \frac{a}{s^{2}+a^{2}}, \qquad \int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(at)\,dt = \frac{s}{s^{2}+a^{2}},
válidas para \Re(s)>0. Substituindo essas expressões na igualdade do passo anterior:
I\cdot\frac{s^{2}+a^{2}}{s^{2}} = \frac{1}{s}\cdot\frac{a}{s^{2}+a^{2}} + \frac{a}{s^{2}}\cdot\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
No lado direito, colocar sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{s}\cdot\frac{a}{s^{2}+a^{2}} + \frac{a}{s^{2}}\cdot\frac{s}{s^{2}+a^{2}} = \frac{a}{s(s^{2}+a^{2})} + \frac{a}{s(s^{2}+a^{2})} = \frac{2a}{s(s^{2}+a^{2})}.

Passo 8

Portanto
I\cdot\frac{s^{2}+a^{2}}{s^{2}} = \frac{2a}{s(s^{2}+a^{2})}.
Isolando I:
I = \frac{s^{2}}{s^{2}+a^{2}}\cdot \frac{2a}{s(s^{2}+a^{2})} = \frac{2a s}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.
Lembrando que I é exatamente a transformada de Laplace pedida:
\mathcal{L}\{t\sin(at)\}(s)=I=\frac{2a s}{(s^{2}+a^{2})^{2}},
válida para \Re(s)>0.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{t\sin(at)\}(s)=\frac{2a s}{(s^{2}+a^{2})^{2}}

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