In each of Problems 15 through 20, using integration by parts, find the Laplace transform of the given function;
is a positive integer and
is a real constant.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a transformada de Laplace da função
, onde
é constante real. Vou anotar claramente o que foi dado e o que se pede:
- Dado: a função
para . - Pedido: calcular
.
Passo 2
Lembrete rápido (ferramenta que vamos usar): a fórmula de integração por partes para integrais indefinidas é
onde
e
é uma primitiva de
. Para integrais impróprias (como a transformada de Laplace) aplicamos a versão definida:
desde que os limites existam. Vamos aplicar essa regra ao integral
.
Passo 3
Escolha de partes (escolha que simplifica): toma-se
Então
assumindo
para garantir convergência das integrais impropriamente definidas.
Aplicando integração por partes na integral da transformada:
Passo 4
Avaliação do termo de contorno: o termo
vale zero porque
quando
(a exponencial domina o crescimento linear) e no
o produto é zero também. Assim ficamos com
Note que agora apareceu uma nova integral com fator
, mas com
em vez de
.
Passo 5
Vamos eliminar a integral com
usando integração por partes novamente. Para a integral
escolhemos
logo
Aplicando partes:
Novamente o termo de contorno é zero (mesma justificativa), portanto
Passo 6
Agora substituímos essa expressão na relação obtida no Passo 4. Denotando
temos do Passo 4:
Reorganizando:
Passe o termo com
à mesma mão:
Ou seja,
Passo 7
As integrais sem o fator
são as transformadas de Laplace conhecidas:
válidas para
. Substituindo essas expressões na igualdade do passo anterior:
No lado direito, colocar sobre o mesmo denominador:
Passo 8
Portanto
Isolando
:
Lembrando que
é exatamente a transformada de Laplace pedida:
válida para
.