Recall that \operatorname{cosh} b t=\left(e^{b t}+e^{-b t}\right) / 2 and \operatorname{sinh} b t=\left(e^{b t}-e^{-b t}\right) / 2. In each of Problems 7 through 10 find the Laplace transform of the given function; a and b are real constants.
e^{a t} \operatorname{cosh} b t

Passo 1

O enunciado dá a função e^{a t}\operatorname{cosh}(b t) e a definição \operatorname{cosh} b t=\dfrac{e^{b t}+e^{-b t}}{2}. Os parâmetros a e b são constantes reais. O que se pede é a transformada de Laplace da função, ou seja, calcular
\mathcal{L}\{e^{a t}\operatorname{cosh}(b t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}e^{a t}\operatorname{cosh}(b t)\,dt,
e indicar a região de convergência em s (quando necessário).

Passo 2

Primeiro reescrevo \operatorname{cosh}(b t) pela definição fornecida para trabalhar com exponenciais simples, que são fáceis de transformar:
e^{a t}\operatorname{cosh}(b t)=e^{a t}\cdot\frac{e^{b t}+e^{-b t}}{2}=\frac{1}{2}\bigl(e^{(a+b)t}+e^{(a-b)t}\bigr).

Passo 3

Uso a linearidade da transformada de Laplace e a transformada básica de uma exponencial. Para c complexo com \operatorname{Re}(s)> \operatorname{Re}\text{(c)} vale
\mathcal{L}\{e^{c t}\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}e^{c t}\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-c)t}\,dt=\left[\frac{e^{-(s-c)t}}{-(s-c)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s-c}.
Aplicando isso aos termos de e^{(a+b)t} e e^{(a-b)t} e lembrando do fator 1/2, obtenho
\mathcal{L}\{e^{a t}\operatorname{cosh}(b t)\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-(a+b)}+\frac{1}{s-(a-b)}\right),
válido quando ambos os termos convergem (condição sobre s que discutiremos em seguida).

Passo 4

Faço a soma das frações e simplifico a expressão. O denominador comum é
\bigl(s-(a+b)\bigr)\bigl(s-(a-b)\bigr)=(s-a-b)(s-a+b)=(s-a)^2-b^2.
O numerador da soma é
\bigl(s-(a-b)\bigr)+\bigl(s-(a+b)\bigr)=2(s-a).
Dividindo pelo fator 1/2, a transformada fica
\mathcal{L}\{e^{a t}\operatorname{cosh}(b t)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^2-b^2}.

Passo 5

Determino a região de convergência. Cada termo exponencial exige \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a+b) e \operatorname{Re}(s)>\operatorname{Re}(a-b). Para a,b reais isso significa
\operatorname{Re}(s)>\max(a+b,\;a-b)=a+|b|.
Portanto a expressão obtida é válida para \operatorname{Re}(s)>a+|b|.

Passo 6

Cheque rápido de consistência: se b=0 temos \operatorname{cosh}(0)=1 e a fórmula dá \dfrac{s-a}{(s-a)^2}=\dfrac{1}{s-a}, que coincide com \mathcal{L}\{e^{a t}\}. Bom sinal — está consistente. Força aí, você já tem a fórmula pronta pra usar na prova!

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{a t}\operatorname{cosh}(b t)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^2-b^2} com \displaystyle \operatorname{Re}(s)>a+|b|.

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