Recall that
and
. In each of Problems 7 through 10 find the Laplace transform of the given function;
and
are real constants.
Passo 1
O enunciado dá a função
e a definição
. Os parâmetros
e
são constantes reais. O que se pede é a transformada de Laplace da função, ou seja, calcular
e indicar a região de convergência em
(quando necessário).
Passo 2
Primeiro reescrevo
pela definição fornecida para trabalhar com exponenciais simples, que são fáceis de transformar:
Passo 3
Uso a linearidade da transformada de Laplace e a transformada básica de uma exponencial. Para
complexo com
vale
Aplicando isso aos termos de
e
e lembrando do fator
, obtenho
válido quando ambos os termos convergem (condição sobre
que discutiremos em seguida).
Passo 4
Faço a soma das frações e simplifico a expressão. O denominador comum é
O numerador da soma é
Dividindo pelo fator
, a transformada fica
Passo 5
Determino a região de convergência. Cada termo exponencial exige
e
. Para
reais isso significa
Portanto a expressão obtida é válida para
.
Passo 6
Cheque rápido de consistência: se
temos
e a fórmula dá
, que coincide com
. Bom sinal — está consistente. Força aí, você já tem a fórmula pronta pra usar na prova!