Recall that
and
. In each of Problems 7 through 10 find the Laplace transform of the given function;
and
are real constants.
Passo 1
O que o exercício pede e o que nos dá.
- Pede: encontrar a transformada de Laplace de
. - Dados:
e são constantes reais e lembra-se que .
Não assumo nada além disso; vou trabalhar diretamente com a definição da transformada de Laplace e com a identidade acima.
Passo 2
Definição e propriedade básica que vou usar.
- A transformada de Laplace de uma função
é
quando essa integral converge.
- Também uso a linearidade: para constantes
e funções vale
Passo 3
Escrever
em termos de exponenciais (isso simplifica a integral).
Usando a identidade dada:
Usando a identidade dada:
Passo 4
Aplicar a linearidade da transformada de Laplace ao resultado do passo anterior.
Portanto
Portanto
Passo 5
Calcular
para uma constante real
.
Pelo cálculo direto,
Pelo cálculo direto,
desde que a integral convirja, isto é, quando
. Para
real isso significa
.
Passo 6
Aplicar a fórmula do passo anterior aos expoentes
e
e anotar a condição de convergência.
Temos
Temos
essas fórmulas exigem
e
respectivamente. A condição conjunta é
.
Passo 7
Fazer a subtração das frações e simplificar algebricamente.
Colocando sobre um denominador comum:
A condição de validade continua sendo
.