Recall that \operatorname{cosh} b t=\left(e^{b t}+e^{-b t}\right) / 2 and \operatorname{sinh} b t=\left(e^{b t}-e^{-b t}\right) / 2. In each of Problems 7 through 10 find the Laplace transform of the given function; a and b are real constants.
e^{a t} \operatorname{sinh} b t

Passo 1

O que o exercício pede e o que nos dá.
  • Pede: encontrar a transformada de Laplace de e^{a t}\operatorname{sinh} b t.
  • Dados: a e b são constantes reais e lembra-se que \operatorname{sinh} b t=\dfrac{e^{b t}-e^{-b t}}{2}.
    Não assumo nada além disso; vou trabalhar diretamente com a definição da transformada de Laplace e com a identidade acima.

Passo 2

Definição e propriedade básica que vou usar.
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}f(t)\,dt,
quando essa integral converge.
  • Também uso a linearidade: para constantes c_1,c_2 e funções f,g vale
\mathcal{L}\{c_1 f + c_2 g\}(s)=c_1\mathcal{L}\{f\}(s)+c_2\mathcal{L}\{g\}(s).

Passo 3

Escrever e^{a t}\operatorname{sinh} b t em termos de exponenciais (isso simplifica a integral).
Usando a identidade dada:
e^{a t}\operatorname{sinh} b t = e^{a t}\cdot\frac{e^{b t}-e^{-b t}}{2}=\frac{1}{2}\bigl(e^{(a+b)t}-e^{(a-b)t}\bigr).

Passo 4

Aplicar a linearidade da transformada de Laplace ao resultado do passo anterior.
Portanto
\mathcal{L}\{e^{a t}\operatorname{sinh} b t\}(s)=\frac{1}{2}\Bigl(\mathcal{L}\{e^{(a+b)t}\}(s)-\mathcal{L}\{e^{(a-b)t}\}(s)\Bigr).

Passo 5

Calcular \mathcal{L}\{e^{c t}\}(s) para uma constante real c.
Pelo cálculo direto,
\mathcal{L}\{e^{c t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}e^{c t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-c)t}\,dt=\frac{1}{s-c},
desde que a integral convirja, isto é, quando \Re(s-c)>0. Para c real isso significa s>c.

Passo 6

Aplicar a fórmula do passo anterior aos expoentes c=a+b e c=a-b e anotar a condição de convergência.
Temos
\mathcal{L}\{e^{(a+b)t}\}(s)=\frac{1}{s-(a+b)},\qquad \mathcal{L}\{e^{(a-b)t}\}(s)=\frac{1}{s-(a-b)},
essas fórmulas exigem s>a+b e s>a-b respectivamente. A condição conjunta é s>\max(a+b,a-b)=a+|b|.

Passo 7

Fazer a subtração das frações e simplificar algebricamente.
\mathcal{L}\{e^{a t}\operatorname{sinh} b t\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a-b}-\frac{1}{s-a+b}\right).
Colocando sobre um denominador comum:
\frac{1}{2}\cdot\frac{(s-a+b)-(s-a-b)}{(s-a-b)(s-a+b)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2b}{(s-a)^2-b^2}=\frac{b}{(s-a)^2-b^2}.
A condição de validade continua sendo s>a+|b|.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{a t}\operatorname{sinh} b t\}(s)=\frac{b}{(s-a)^2-b^2},\qquad s>a+|b|.

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