In each of Problems 15 through 20, using integration by parts, find the Laplace transform of the given function;
is a positive integer and
is a real constant.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
. Ou seja, calcular
assumindo
constante real e buscando a expressão em termos de
. Vou usar integração por partes (duas vezes) para resolver a integral. A transformada converge para
(razão: o fator
deve dominar o crescimento polinomial).
Passo 2
Lembrete rápido da fórmula de integração por partes (indefinida):
onde
e
são funções de
,
é a derivada de
e
é uma primitiva de
.
Escolho, para a integral principal,
Precisamos então de
. Calculemos essa primitiva: usando a fórmula padrão
com
e
, obtemos
Passo 3
Aplicando integração por partes na integral definida,
temos
Avaliação dos termos de contorno: como
contém factor
e
quando
para
, e em
o fator
zera, os termos de contorno são nulos. Portanto
Substituindo
,
Definimos
então
Passo 4
Calcule
por integração por partes: tome
,
. Já sabemos a primitiva de
, que é
Assim
Os termos de contorno valem zero (mesma razão de antes). Logo
Agora usamos as transformadas básicas
válidas para
. Substituindo,
Passo 5
Calcule
de modo análogo: escolha
,
. A primitiva é
Logo
Os termos de contorno são nulos, então
Usando as mesmas transformadas básicas,
Passo 6
Substitua
e
na expressão de
:
Colocando sobre o mesmo denominador:
Portanto a transformada de Laplace pedida é essa (válida para
).