In each of Problems 15 through 20, using integration by parts, find the Laplace transform of the given function; n is a positive integer and a is a real constant.
t^{2} \sin a t

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função t^{2}\sin(at). Ou seja, calcular
\mathcal{L}\{t^{2}\sin(at)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^{2}\sin(at)\,dt,
assumindo a constante real e buscando a expressão em termos de s. Vou usar integração por partes (duas vezes) para resolver a integral. A transformada converge para s>0 (razão: o fator e^{-st} deve dominar o crescimento polinomial).

Passo 2

Lembrete rápido da fórmula de integração por partes (indefinida):
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e v são funções de t, du é a derivada de u e v é uma primitiva de dv.
Escolho, para a integral principal,
u=t^{2},\qquad dv=e^{-st}\sin(at)\,dt.
Precisamos então de v=\int e^{-st}\sin(at)\,dt. Calculemos essa primitiva: usando a fórmula padrão \int e^{pt}\sin(qt)\,dt = e^{pt}\dfrac{p\sin(qt)-q\cos(qt)}{p^{2}+q^{2}} com p=-s e q=a, obtemos
v=\int e^{-st}\sin(at)\,dt = -\frac{e^{-st}\big(s\sin(at)+a\cos(at)\big)}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 3

Aplicando integração por partes na integral definida,
I=\int_{0}^{\infty}e^{-st}t^{2}\sin(at)\,dt,
temos
I=\Big[t^{2}v\Big]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}v\cdot 2t\,dt.
Avaliação dos termos de contorno: como v contém factor e^{-st} e t^{2}e^{-st}\to 0 quando t\to\infty para s>0, e em t=0 o fator t^{2} zera, os termos de contorno são nulos. Portanto
I = -2\int_{0}^{\infty} t\,v\,dt.
Substituindo v,
I = -2\int_{0}^{\infty} t\left(-\frac{e^{-st}\big(s\sin(at)+a\cos(at)\big)}{s^{2}+a^{2}}\right)dt = \frac{2}{s^{2}+a^{2}}\left[s\int_{0}^{\infty}t e^{-st}\sin(at)\,dt + a\int_{0}^{\infty}t e^{-st}\cos(at)\,dt\right].
Definimos
J_{1}=\int_{0}^{\infty}t e^{-st}\sin(at)\,dt,\qquad J_{2}=\int_{0}^{\infty}t e^{-st}\cos(at)\,dt,
então
I=\frac{2}{s^{2}+a^{2}}\big(sJ_{1}+aJ_{2}\big).

Passo 4

Calcule J_{1} por integração por partes: tome u=t, dv=e^{-st}\sin(at)\,dt. Já sabemos a primitiva de dv, que é
v=-\frac{e^{-st}\big(s\sin(at)+a\cos(at)\big)}{s^{2}+a^{2}}.
Assim
J_{1}=\Big[tv\Big]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}v\,dt.
Os termos de contorno valem zero (mesma razão de antes). Logo
J_{1}=-\int_{0}^{\infty}v\,dt=\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\big(s\sin(at)+a\cos(at)\big)\,dt.
Agora usamos as transformadas básicas
\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(at)\,dt=\frac{a}{s^{2}+a^{2}},\qquad \int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(at)\,dt=\frac{s}{s^{2}+a^{2}},
válidas para s>0. Substituindo,
J_{1}=\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\left(s\cdot\frac{a}{s^{2}+a^{2}}+a\cdot\frac{s}{s^{2}+a^{2}}\right) =\frac{2as}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.

Passo 5

Calcule J_{2} de modo análogo: escolha u=t, dv=e^{-st}\cos(at)\,dt. A primitiva é
\int e^{-st}\cos(at)\,dt=\frac{e^{-st}\big(-s\cos(at)+a\sin(at)\big)}{s^{2}+a^{2}}.
Logo
J_{2}=\Big[t\cdot\frac{e^{-st}\big(-s\cos(at)+a\sin(at)\big)}{s^{2}+a^{2}}\Big]_{0}^{\infty} -\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\big(-s\cos(at)+a\sin(at)\big)\,dt.
Os termos de contorno são nulos, então
J_{2}=\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\big(s\cos(at)-a\sin(at)\big)\,dt.
Usando as mesmas transformadas básicas,
J_{2}=\frac{1}{s^{2}+a^{2}}\left(s\cdot\frac{s}{s^{2}+a^{2}}-a\cdot\frac{a}{s^{2}+a^{2}}\right) =\frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}.

Passo 6

Substitua J_{1} e J_{2} na expressão de I:
I=\frac{2}{s^{2}+a^{2}}\left[s\cdot\frac{2as}{(s^{2}+a^{2})^{2}} + a\cdot\frac{s^{2}-a^{2}}{(s^{2}+a^{2})^{2}}\right].
Colocando sobre o mesmo denominador:
I=\frac{2}{s^{2}+a^{2}}\cdot\frac{2as^{2}+a(s^{2}-a^{2})}{(s^{2}+a^{2})^{2}} =\frac{2a(3s^{2}-a^{2})}{(s^{2}+a^{2})^{3}}.
Portanto a transformada de Laplace pedida é essa (válida para s>0).

Resposta

\mathcal{L}\{t^{2}\sin(at)\}(s)=\frac{2a\big(3s^{2}-a^{2}\big)}{(s^{2}+a^{2})^{3}},\qquad s>0

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