In each of Problems 19 through 22 show that the given equation is not exact but becomes exact when multiplied by the given integrating factor. Then solve the equation.
y d x+(2 x-y e^y) d y=0, mu(x, y)=y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y,dx + (2x - y e^y),dy = 0
e diz que o fator integrante é mu(x,y)=y.
O conteúdo aqui é reconhecer uma equação não exata, ver que ela fica exata ao multiplicar por mu e então encontrar a função potencial cuja diferenciação dê a forma exata.

Passo 2

Chamando
M(x,y)=y, N(x,y)=2x - y e^y,
verificamos a não exatidão original calculando
partial Mpartial y =partialpartial y(y)=1, partial Npartial x =partialpartial x(2x - y e^y)=2
Como 1neq2, a equação não é exata.

Passo 3

Multiplicamos a equação por mu=y. Ficamos com
tilde M(x,y)=ycdot y = y^2, tilde N(x,y)=y,(2x - y e^y) = 2xy - y^2 e^y
Agora
partial tilde Mpartial y =partialpartial y(y^2)=2y, partial tilde Npartial x =partialpartial x(2xy - y^2 e^y)=2y,
então a nova equação é exata.

Passo 4

Como é exata, existe phi(x,y) tal que
partial phipartial x = tilde M = y^2, partial phipartial y = tilde N = 2xy - y^2 e^y
Integramos partialphi/partial x=y^2 em relação a x:
phi(x,y)=integral y^2,dx = x,y^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Para achar h(y), calculamos
partial phipartial y =2x y + h'(y)
e igualamos a tilde N:
2x y + h'(y) = 2xy - y^2 e^y Longrightarrow h'(y) = -y^2 e^y
Integramos h'(y) por partes:
integral y^2 e^y,dy = y^2 e^y - 2integral y e^y,dy = y^2 e^y - 2l(y e^y-e^yr) = (y^2 - 2y + 2)e^y
Portanto
h(y)= -l(y^2 - 2y + 2r)e^y + C

Passo 6

Substituindo em phi, obtemos a solução implícita
phi(x,y) = x,y^2 - l(y^2 - 2y + 2r)e^y = C

Resposta

x,y^2 - (y^2 - 2y + 2)e^y = C

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