Show that if (Nx-M7) / M=Q, where Q is a function of y only, then the differential equation
M+N y^prime=0
has an integrating factor of the form
mu(y)=exp integral Q(y) d y

Passo 1

O enunciado considera a equação diferencial de primeira ordem
M(x,y)+N(x,y),y'=0
que em geral não é exata. Queremos achar um fator de integração mu que dependa só de y, ou seja, mu=mu(y), tal que ao multiplicar a equação por mu(y) ela se torne exata.

Passo 2

Para que
mu(y),M(x,y)+mu(y),N(x,y),y'=0
seja exata, deve valer a condição
partialpartial yl(mu Mr) = partialpartial xl(mu Nr)

Passo 3

Como mu=mu(y), temos
partialpartial yl(mu Mr) =mu',M+mu,My, partialpartial xl(mu Nr) =mu,Nx
Igualando, divide-se tudo por mu e isola-se mu'/mu:
Nx = mu'muM+My Longrightarrow mu'mu =Nx-MyM
Pelo enunciado (Nx-My)/M=Q(y), que depende só de y.

Passo 4

Temos a equação para mu:
mu'mu=Q(y)
Integramos em y:
lnmu(y)=integral Q(y),dy+C,
e desprezando a constante multiplicativa, obtemos
mu(y)=exp!gl(integral Q(y),dygr)

Resposta

mu(y)=exp!l(integral Q(y),dyr)

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