The Bessel equation of order one is
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-1) y=0
c. Show that one solution for x>0 is
J1(x)=x2 sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(n+1)!n!2^2 n
The function J1 is known as the Bessel function of the first kind of order one.

Passo 1

Temos a equação de Bessel de ordem um:
x^2 y'' + x y' + (x^2 - 1) y = 0
O conteúdo da matéria aqui é o método de Frobenius para equações singulares regulares. Vamos propor uma série de potências do tipo sumn=0^infty an x^n+r para encontrar uma solução válida em x>0.

Passo 2

Propondo a série de Frobenius:
y(x) = sumn=0^infty an x^n+r,
então
y'(x) = sumn=0^infty an (n+r),x^n+r-1, y''(x) = sumn=0^infty an (n+r)(n+r-1),x^n+r-2
Substituindo na equação original e organizando os somatórios em potências de x^n+r, chegamos a:

Passo 3

Ao substituir e agrupar termos, obtemos
sumn=0^infty anl[(n+r)^2-1r]x^n+r + sumn=2^infty an-2,x^n+r = 0
Reescrevendo como um único somatório:
sumn=0^inftyl[anl((n+r)^2-1r) + an-2r]x^n+r = 0
Do coeficiente mais baixo ( n=0) vem a equação indicial:
r^2 - 1 = 0 Longrightarrow r = pm1

Passo 4

Para n>=2 surge a relação de recorrência:
an = -an-2(n+r)^2-1
Escolhendo a raiz r=1 (solução de primeira espécie de ordem um), temos
(n+1)^2 - 1 = n(n+2),
logo
an = -an-2n(n+2)
Isso implica que todos os coeficientes de índice ímpar são zero ( a2k+1=0) e só existem termos pares a2k.

Passo 5

Iterando a relação para termos pares n=2k, chegamos a
a2k = (-1)^k,a0prodj=1^k (2j)(2j+2) = (-1)^k,a04^k,k!,(k+1)!
Assim a série fica
y(x) = sumk=0^infty a2k x^2k+1 = a0,x sumk=0^infty (-1)^k,x^2k4^k,k!,(k+1)! = a0,x sumk=0^infty (-1)^k,x^2k2^2k,k!,(k+1)!

Passo 6

Para que o primeiro termo seja exatamente x/2, escolhemos a0=1/2. Assim obtemos
J1(x) = x2 sumn=0^infty (-1)^n,x^2n(n+1)!,n!,2^2n,
que coincide com a definição da função de Bessel de primeira espécie de ordem um em x>0.

Resposta

J1(x)=x2 sumn=0^infty (-1)^n x^2 n(n+1)!,n!,2^2 n

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