The Bessel equation of order one is
c. Show that one solution for
is
The function
is known as the Bessel function of the first kind of order one.
Passo 1
Temos a equação de Bessel de ordem um:
O conteúdo da matéria aqui é o método de Frobenius para equações singulares regulares. Vamos propor uma série de potências do tipo
para encontrar uma solução válida em
.
Passo 2
Propondo a série de Frobenius:
então
Substituindo na equação original e organizando os somatórios em potências de
, chegamos a:
Passo 3
Ao substituir e agrupar termos, obtemos
Reescrevendo como um único somatório:
Do coeficiente mais baixo (
) vem a equação indicial:
Passo 4
Para
surge a relação de recorrência:
Escolhendo a raiz
(solução de primeira espécie de ordem um), temos
logo
Isso implica que todos os coeficientes de índice ímpar são zero (
) e só existem termos pares
.
Passo 5
Iterando a relação para termos pares
, chegamos a
Assim a série fica
Passo 6
Para que o primeiro termo seja exatamente
, escolhemos
. Assim obtemos
que coincide com a definição da função de Bessel de primeira espécie de ordem um em
.