In Exercises 51-56, find the limit of
f
as
(x, y) \rightarrow(0,0)
or show that the limit does not exist.
f(x, y)=\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y)=\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). Como estamos em duas variáveis, para o limite existir ele tem que dar o mesmo valor ao longo de qualquer caminho que leve a (0,0). Uma forma prática de testar isso é analisar valores de f em retas diferentes que passem pela origem.

Passo 2

Considere o caminho y=0. Substituindo em f, obtemos
f(x,0)=\frac{0^{2}}{x^{2}+0^{2}}=0.
Logo, se nos aproximarmos de (0,0) ao longo do eixo x, o valor de f tende a 0.

Passo 3

Agora considere o caminho x=0. Substituindo em f, obtemos
f(0,y)=\frac{y^{2}}{0^{2}+y^{2}}=1.
Isso mostra que, se nos aproximarmos de (0,0) ao longo do eixo y, o valor de f tende a 1.

Passo 4

Como o limite ao longo de y=0 é 0 e ao longo de x=0 é 1, obtemos valores diferentes. Portanto, o limite não pode existir, pois dependente do caminho.

Resposta

O limite não existe.

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