In Exercises 51-56, find the limit of
f
as
(x, y) \rightarrow(0,0)
or show that the limit does not exist.
f(x, y)=\cos \left(\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede
limite de
f(x,y)=\cos\!\Bigl(\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}\Bigr)
quando (x,y)\to(0,0).
O conteúdo é limite em várias variáveis e uso de continuidade de funções compostas. Vamos mostrar que o argumento de \cos tende a 0 e depois usar que \cos é contínua.

Passo 2

Para mostrar que o argumento
A(x,y)=\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}
tende a zero, note que, se r=\sqrt{x^2+y^2}, então
|x^3-y^3|\le|x|^3+|y|^3\le r^3+r^3=2r^3,
enquanto
x^2+y^2=r^2.
Logo, para (x,y)\neq(0,0),
\bigl|A(x,y)\bigr| =\left|\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}\right| \le\frac{2r^3}{r^2}=2r.
Como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), temos A(x,y)\to0.

Passo 3

Sabendo que \displaystyle A(x,y)\to0 e que \cos(t) é contínua em t=0, concluímos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\cos\!\bigl(A(x,y)\bigr) =\cos\!\bigl(\lim_{(x,y)\to(0,0)}A(x,y)\bigr) =\cos(0)=1.

Resposta

O limite existe e vale 1.

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