In Problems 1-16 find the Fourier series of lr0, & -pi on the given interval.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função $ f(x) $ definida no intervalo de f(x) a -pi. A matéria aqui é Séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier: $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função periódica com período $ 2\pi $ é dada por:
2pi
Aqui, $ a_0 $ é o termo constante, $ a_n $ são os coeficientes dos cossenos e $ b_n $ são os coeficientes dos senos.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente $ a_0 $. Esse coeficiente é encontrado pela fórmula:
a0
Substituindo a função $ f(x) $ na integral:
a0 = 1pi integral-pi^pi f(x) , dx

Passo 4

Calculando as integrais:
integral-pi^0 0 , dx = 0
integral0^pi 1 , dx = pi
Portanto:
a0 = 1pi (0 + pi) = 1

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $:
an
Substituindo $ f(x) $:
an = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(nx) , dx

Passo 6

A integral de $ \cos(nx) $ de $ 0 $ a $ \pi $ é:
cos(nx)
Pois $ \sin(n\pi) = 0 $ para todo inteiro $ n $. Logo, $ a_n = 0 $ para todo $ n $.

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $:
bn
Substituindo $ f(x) $:
bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sin(nx) , dx

Passo 8

A integral de $ \sin(nx) $ de $ 0 $ a $ \pi $ é:
sin(nx)
Sabemos que $ \cos(n\pi) = (-1)^n $. Então:
0

Passo 9

Juntando tudo, a série de Fourier da função $ f(x) $ é:
f(x)
Simplificando:
f(x) = a02 + sumn=1^infty [ an cos(nx) + bn sin(nx) ] = 12 + sumn=1^infty [ 0 cdot cos(nx) + 1 - (-1)^nnpi sin(nx) ]

Resposta

A série de Fourier da função $ f(x) $ no intervalo f(x) é:
-pi < x < pi

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