In Problems 1-16 find the Fourier series of
on the given interval.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a série de Fourier da função $ f(x) $ definida no intervalo de
a
. A matéria aqui é Séries de Fourier, que são usadas para representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier: $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função periódica com período $ 2\pi $ é dada por:
Aqui, $ a_0 $ é o termo constante, $ a_n $ são os coeficientes dos cossenos e $ b_n $ são os coeficientes dos senos.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente $ a_0 $. Esse coeficiente é encontrado pela fórmula:
Substituindo a função $ f(x) $ na integral:
Passo 4
Calculando as integrais:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $:
Substituindo $ f(x) $:
Passo 6
A integral de $ \cos(nx) $ de $ 0 $ a $ \pi $ é:
Pois $ \sin(n\pi) = 0 $ para todo inteiro $ n $. Logo, $ a_n = 0 $ para todo $ n $.
Passo 7
Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $:
Substituindo $ f(x) $:
Passo 8
A integral de $ \sin(nx) $ de $ 0 $ a $ \pi $ é:
Sabemos que $ \cos(n\pi) = (-1)^n $. Então:
Passo 9
Juntando tudo, a série de Fourier da função $ f(x) $ é:
Simplificando:
Resposta
A série de Fourier da função $ f(x) $ no intervalo
é: