Para uma certa substância, a taxa de variação da pressão de vapor P em relação à temperatura T é proporcional à pressão do vapor e inversamente proporcional ao quadrado da temperatura. Determine uma expressão para P(T).

Passo 1

A questão afirma que a taxa de variação da pressão de vapor P em relação à temperatura T é proporcional a P e inversamente proporcional a T^2. Isso cai em Equações Diferenciais de variáveis separáveis: conhecendo a relação dPdTproptoPT^2, vamos separar variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, modelamos a proporcionalidade introduzindo uma constante k:
dPdT=kPT^2

Passo 3

Agora separamos as variáveis (colocamos todos os termos em P de um lado e em T do outro):
1P,dP=k,T^-2,dT

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados:
integral1P,dP=integral k,T^-2,dT
À esquerda vem ln|P| e à direita:
integral k,T^-2,dT = kintegral T^-2,dT = -kT + C
Então:
ln|P| = -kT + C

Passo 5

Por fim, exponenciamos para isolar P:
P(T)=e^ln|P|=e^Ce^-tfrackT
Definindo A=e^C como constante positiva, obtemos a solução geral: P(T)=A,e^-k/T.

Resposta

P(T)=A,e^-k/T, onde A e k são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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