Calcule a integral.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma função complexa ao longo de um caminho específico no plano complexo. A função que vamos integrar é
, e o caminho é a circunferência definida por
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Análise Complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao redor de caminhos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função
não é analítica, ou seja, onde a função tem singularidades (pontos onde ela tende ao infinito). Para isso, resolvemos a equação
:
Então, as singularidades estão em
e
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar quais dessas singularidades estão dentro do caminho de integração
. Isso significa que estamos considerando todos os pontos
que estão a uma distância de 2 unidades do ponto
no plano complexo.
Vamos verificar cada singularidade:
- Para
:
Portanto,
está dentro do caminho.
- Para
:
Então,
está fora do caminho.
Portanto, apenas a singularidade em
está dentro do caminho de integração.
Passo 4
Agora, vamos analisar a natureza da singularidade em
. A função original é
, que pode ser fatorada como:
Isso mostra que em
, temos uma singularidade de ordem 2 (também conhecida como polo de segunda ordem).
Passo 5
Para calcular a integral, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que diz que:
onde
é o caminho de integração e
é o resíduo de
em
, a singularidade dentro de
. Como temos um polo de ordem 2 em
, usamos a fórmula para resíduos em polos múltiplos:
onde
é a ordem do polo. No nosso caso,
e
.
Passo 6
Aplicando a fórmula para o resíduo:
Simplificando a expressão dentro da derivada:
Então, a derivada a ser calculada é:
Agora, avaliamos o limite em
:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora que temos o resíduo, podemos usar o Teorema dos Resíduos para encontrar o valor da integral:
Resposta
A integral vale
.