Calcule a integral.
integral|z-i|=2 1(z^2+4)^2 d z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma função complexa ao longo de um caminho específico no plano complexo. A função que vamos integrar é 1(z^2+4)^2, e o caminho é a circunferência definida por |z - i| = 2. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Análise Complexa, especificamente o Teorema dos Resíduos, que nos ajuda a calcular integrais de funções complexas ao redor de caminhos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função 1(z^2+4)^2 não é analítica, ou seja, onde a função tem singularidades (pontos onde ela tende ao infinito). Para isso, resolvemos a equação z^2 + 4 = 0:
z^2 + 4 = 0 z^2 = -4 z = pm 2i
Então, as singularidades estão em z = 2i e z = -2i.

Passo 3

Agora, precisamos determinar quais dessas singularidades estão dentro do caminho de integração |z - i| = 2. Isso significa que estamos considerando todos os pontos z que estão a uma distância de 2 unidades do ponto i no plano complexo.
Vamos verificar cada singularidade:
  1. Para z = 2i:
|2i - i| = |i| = 1 < 2
Portanto, 2i está dentro do caminho.
  1. Para z = -2i:
|-2i - i| = |-3i| = 3 > 2
Então, -2i está fora do caminho.
Portanto, apenas a singularidade em z = 2i está dentro do caminho de integração.

Passo 4

Agora, vamos analisar a natureza da singularidade em z = 2i. A função original é 1(z^2+4)^2, que pode ser fatorada como:
1(z - 2i)^2(z + 2i)^2
Isso mostra que em z = 2i, temos uma singularidade de ordem 2 (também conhecida como polo de segunda ordem).

Passo 5

Para calcular a integral, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que diz que:
integralgamma f(z) , dz = 2pi i cdot Res(f, z0)
onde gamma é o caminho de integração e Res(f, z0) é o resíduo de f em z0, a singularidade dentro de gamma. Como temos um polo de ordem 2 em z = 2i, usamos a fórmula para resíduos em polos múltiplos:
Res(f, z0) = 1(n-1)! limz to z0 d^n-1dz^n-1 [ (z - z0)^n f(z) ]
onde n é a ordem do polo. No nosso caso, n = 2 e z0 = 2i.

Passo 6

Aplicando a fórmula para o resíduo:
Res(1(z^2+4)^2, 2i) = 11! limz to 2i ddz [ (z - 2i)^2 cdot 1(z^2+4)^2 ]
Simplificando a expressão dentro da derivada:
(z - 2i)^2 cdot 1(z^2+4)^2 = (z - 2i)^2(z - 2i)^2(z + 2i)^2 = 1(z + 2i)^2
Então, a derivada a ser calculada é:
ddz ( 1(z + 2i)^2 ) = -2 cdot 1(z + 2i)^3
Agora, avaliamos o limite em z = 2i:
-2 cdot 1(2i + 2i)^3 = -2 cdot 1(4i)^3 = -2 cdot 164i^3
Sabemos que i^3 = -i, então:
-2 cdot 164(-i) = -2 cdot (-164i) = 264i = 132i

Passo 7

Agora que temos o resíduo, podemos usar o Teorema dos Resíduos para encontrar o valor da integral:
integral|z - i|=2 1(z^2+4)^2 dz = 2pi i cdot 132i = 2pi i32i = 2pi32 = pi16

Resposta

A integral vale dfracpi16.

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