Mostre que
é harmônica em todo o plano, determine sua conjugada
, expresse
em termos de
e derive
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ u(x, y) = x^{3} + 6x^{2}y - 3xy^{2} - 2y^{3} $ e precisamos verificar se ela é harmônica em todo o plano. Além disso, devemos encontrar a função conjugada $ v(x, y) $, expressar $ f = u + iv $ em termos de $ z = x + iy $ e, por fim, derivar $ f(z) $.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre equações de Laplace (para verificar se a função é harmônica), funções analíticas e as condições de Cauchy-Riemann (para encontrar a função conjugada).
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se $ u(x, y) $ é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
Então, vamos calcular as segundas derivadas parciais de $ u $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Primeira derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Primeira derivada de $ u $ em relação a $ y $:
Segunda derivada de $ u $ em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, somamos as segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
Como a soma é zero, concluímos que $ u(x, y) $ é, de fato, uma função harmônica.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a função conjugada $ v(x, y) $. Para isso, usamos as condições de Cauchy-Riemann, que dizem que, para funções analíticas, as derivadas parciais satisfazem:
Já calculamos:
Integrando $ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} $:
Agora, derivamos $ v $ em relação a $ x $ e igualamos a $ -\frac{\partial u}{\partial y} $:
Simplificando:
Comparando os termos, vemos que:
Integrando em relação a $ x $:
Portanto, a função conjugada é:
Para simplificar, podemos escolher $ C = 0 $:
Passo 6
Agora, vamos expressar $ f(z) = u + iv $ em termos de $ z = x + iy $.
Sabemos que, para funções analíticas, podemos escrever $ f(z) $ como uma função de $ z $ apenas. Vamos tentar reescrever $ u $ e $ v $ em termos de $ z $.
Primeiro, expressamos $ x $ e $ y $ em termos de $ z $:
No entanto, uma maneira mais direta é reconhecer que $ u + iv $ deve ser um polinômio em $ z $. Observando $ u $ e $ v $, percebemos que:
Podemos reescrever isso como:
Passo 7
Finalmente, vamos derivar $ f(z) $. Sabemos que $ f(z) = z^{3} $, então:
Resposta
A função $ u(x, y) = x^{3} + 6x^{2}y - 3xy^{2} - 2y^{3} $ é harmônica em todo o plano. Sua função conjugada é $ v(x, y) = -2x^{3} + 3x^{2}y + 6xy^{2} - y^{3} $. A função analítica associada é $ f(z) = z^{3} $ e sua derivada é $ f’(z) = 3z^{2} $.