Mostre que u(x, y)=x^3+6 x^2 y-3 x y^2-2 y^3 é harmônica em todo o plano, determine sua conjugada v(x, y), expresse f=u+i v em termos de z=x+y i e derive f(z).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função $ u(x, y) = x^{3} + 6x^{2}y - 3xy^{2} - 2y^{3} $ e precisamos verificar se ela é harmônica em todo o plano. Além disso, devemos encontrar a função conjugada $ v(x, y) $, expressar $ f = u + iv $ em termos de $ z = x + iy $ e, por fim, derivar $ f(z) $.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre equações de Laplace (para verificar se a função é harmônica), funções analíticas e as condições de Cauchy-Riemann (para encontrar a função conjugada).

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se $ u(x, y) $ é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
u(x, y)
Então, vamos calcular as segundas derivadas parciais de $ u $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 3

Calculando as derivadas:
Primeira derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u
Segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $:
x
Primeira derivada de $ u $ em relação a $ y $:
partial upartial x = 3x^2 + 12xy - 3y^2
Segunda derivada de $ u $ em relação a $ y $:
u

Passo 4

Agora, somamos as segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = (6x + 12y) + (-6x - 12y) = 0
Como a soma é zero, concluímos que $ u(x, y) $ é, de fato, uma função harmônica.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a função conjugada $ v(x, y) $. Para isso, usamos as condições de Cauchy-Riemann, que dizem que, para funções analíticas, as derivadas parciais satisfazem:
v(x, y)
Já calculamos:
partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x
partial upartial x = 3x^2 + 12xy - 3y^2
Integrando $ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial x} $:
partial upartial y = 6x^2 - 6xy - 6y^2
Agora, derivamos $ v $ em relação a $ x $ e igualamos a $ -\frac{\partial u}{\partial y} $:
partial vpartial y = partial upartial x
Simplificando:
v(x, y) = integral (3x^2 + 12xy - 3y^2) , dy = 3x^2y + 6xy^2 - y^3 + phi(x)
Comparando os termos, vemos que:
v
Integrando em relação a $ x $:
x
Portanto, a função conjugada é:
-partial upartial y
Para simplificar, podemos escolher $ C = 0 $:
partial vpartial x = 6xy + 6y^2 + phi'(x) = - (6x^2 - 6xy - 6y^2)

Passo 6

Agora, vamos expressar $ f(z) = u + iv $ em termos de $ z = x + iy $.
Sabemos que, para funções analíticas, podemos escrever $ f(z) $ como uma função de $ z $ apenas. Vamos tentar reescrever $ u $ e $ v $ em termos de $ z $.
Primeiro, expressamos $ x $ e $ y $ em termos de $ z $:
f(z) = u + iv
No entanto, uma maneira mais direta é reconhecer que $ u + iv $ deve ser um polinômio em $ z $. Observando $ u $ e $ v $, percebemos que:
z = x + iy
Podemos reescrever isso como:
f(z)

Passo 7

Finalmente, vamos derivar $ f(z) $. Sabemos que $ f(z) = z^{3} $, então:
f(z)

Resposta

A função $ u(x, y) = x^{3} + 6x^{2}y - 3xy^{2} - 2y^{3} $ é harmônica em todo o plano. Sua função conjugada é $ v(x, y) = -2x^{3} + 3x^{2}y + 6xy^{2} - y^{3} $. A função analítica associada é $ f(z) = z^{3} $ e sua derivada é $ f’(z) = 3z^{2} $.

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