In Problems 25-34 find the half-range cosine and sine expansions of the given function.
Passo 1
O enunciado pede as expansões de meia-onda (half-range) de
Vamos tomar a
),
– a expansão em senos (extensão ímpar de a
).
– a expansão em senos (extensão ímpar de
Passo 2
Para a série de cossenos temos a fórmula padrão (meia-onda em
):
com
e
.
Passo 3
Cálculo de
:
Logo o termo constante vale
.
Passo 4
Cálculo de
para
:
Faça a substituição
, de
a
, e expanda
,
e use integração por partes em cada termo.
e use integração por partes em cada termo.
Passo 5
Depois de simplificar dá-se o resultado em função de
:
isto é
Passo 6
Para a série de senos usamos
Passo 7
Cálculo de
bn :
novamente com
u=x-pi e expansão de
sin!l(tfracn(pi+u)2r) . Integre por partes e simplifique.
Passo 8
O resultado final fica, para
n>=1 :
ou, em forma modular,
Resposta
Meia-onda cosseno (
L=2pi ):
com
Meia-onda seno (
L=2pi ):
com