Mostre que a seguinte equação:
não é exata. Transforme ela em exata e resolva utilizando o método das equações exatas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é mostrar que a equação
não é exata. Depois, vamos transformá-la em uma equação exata e resolver usando o método das equações exatas. Para isso, vamos precisar entender o que são equações exatas e como encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se
No nosso caso:
e
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
e
Como
, concluímos que a equação não é exata.
Passo 4
Agora, vamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Geralmente, tentamos encontrar um fator que dependa apenas de
ou apenas de
. Vamos supor que o fator integrante
depende apenas de
.
A fórmula para o fator integrante quando
depende de
é:
Primeiro, calculamos
:
Passo 5
Agora, integramos para encontrar
:
Podemos simplificar para:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
simplificando:
Passo 7
Agora, verificamos se a equação multiplicada por
é exata. Calculamos as novas derivadas parciais:
Então:
Como
, a equação é exata agora.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a solução geral da equação exata. Sabemos que existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
onde
é uma função de integração que depende apenas de
.
Passo 9
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Podemos ignorar essa constante, já que ela será incluída na constante geral da solução.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante arbitrária.