Mostre que a seguinte equação:
(x^4+y^4) d x-x y^3 d y=0
não é exata. Transforme ela em exata e resolva utilizando o método das equações exatas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é mostrar que a equação
(x^4+y^4) dx - x y^3 dy = 0
não é exata. Depois, vamos transformá-la em uma equação exata e resolver usando o método das equações exatas. Para isso, vamos precisar entender o que são equações exatas e como encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação dada é exata. Uma equação diferencial da forma
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
é exata se
partial Mpartial y = partial Npartial x
No nosso caso:
M(x, y) = x^4 + y^4
e
N(x, y) = -x y^3

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y(x^4 + y^4) = 4 y^3,
e
partial Npartial x = partialpartial x(-x y^3) = -y^3
Como 4 y^3 neq -y^3, concluímos que a equação não é exata.

Passo 4

Agora, vamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Geralmente, tentamos encontrar um fator que dependa apenas de x ou apenas de y. Vamos supor que o fator integrante mu(x) depende apenas de x.
A fórmula para o fator integrante quando mu depende de x é:
mu(x) = e^integral My - NxN dx
Primeiro, calculamos My - NxN:
My - NxN = 4 y^3 - (-y^3)-x y^3 = 5 y^3-x y^3 = -5x

Passo 5

Agora, integramos para encontrar mu(x):
mu(x) = e^integral -5x dx = e^-5 ln|x| = |x|^-5
Podemos simplificar para:
mu(x) = x^-5

Passo 6

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) = x^-5:
x^-5(x^4 + y^4) dx - x^-5 x y^3 dy = 0,
simplificando:
x^-1 + x^-5 y^4 dx - x^-4 y^3 dy = 0

Passo 7

Agora, verificamos se a equação multiplicada por mu(x) é exata. Calculamos as novas derivadas parciais:
M'(x, y) = x^-1 + x^-5 y^4,
N'(x, y) = -x^-4 y^3
Então:
partial M'partial y = 4 x^-5 y^3,
partial N'partial x = 4 x^-5 y^3
Como partial M'partial y = partial N'partial x, a equação é exata agora.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a solução geral da equação exata. Sabemos que existe uma função F(x, y) tal que:
partial Fpartial x = M'(x, y),
partial Fpartial y = N'(x, y)
Integrando M'(x, y) em relação a x:
F(x, y) = integral (x^-1 + x^-5 y^4) dx = ln|x| - y^44 x^4 + h(y),
onde h(y) é uma função de integração que depende apenas de y.

Passo 9

Agora, derivamos F(x, y) em relação a y e igualamos a N'(x, y) para encontrar h(y):
partial Fpartial y = -4 y^34 x^4 + h'(y) = -y^3x^4 + h'(y) = N'(x, y) = -y^3x^4
Isso implica que h'(y) = 0, ou seja, h(y) é uma constante. Podemos ignorar essa constante, já que ela será incluída na constante geral da solução.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
ln|x| - y^44 x^4 = C,
onde C é uma constante arbitrária.

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