Um projétil lançado a partir do solo segue a seguinte trajetória:
x(t)=14 t^3+2 t, y(t)=b t-t^2, b>0
com t em segundos e distância em centímetros.
Determine o ângulo de inclinação de lançamento do projétil. Calcule o valor do parâmetro b sabendo-se que a velocidade inicial da partícula é de 2 raiz101 cm / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um projétil lançado do chão que segue uma trajetória definida por duas equações:
x(t) = 14 t^3 + 2 t, y(t) = b t - t^2
onde $ t $ é o tempo em segundos e a distância está em centímetros. Queremos descobrir o ângulo de lançamento do projétil e o valor de $ b $, sabendo que a velocidade inicial é de $ 2 \sqrt{101} $ cm/s. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, e algum conhecimento de trigonometria para achar o ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade inicial do projétil é o vetor velocidade no instante $ t = 0 $. Para achar esse vetor, precisamos calcular as derivadas das funções $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação ao tempo, pois as derivadas representam as componentes da velocidade.
A velocidade em $ t $ é dada por:
t = 0
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando $ v_x(t) $:
vx(t)
Calculando $ v_y(t) $:
vx(t) = ddt ( 14 t^3 + 2 t ) = 34 t^2 + 2

Passo 4

Agora, vamos avaliar a velocidade no instante $ t = 0 $ para encontrar a velocidade inicial $ \mathbf{v}_0 $:
t = 0
v0
Então, a velocidade inicial é:
vx(0) = 34 (0)^2 + 2 = 2 cm/s

Passo 5

Sabemos que a velocidade inicial tem magnitude $ 2 \sqrt{101} $ cm/s. Vamos usar a fórmula da magnitude do vetor velocidade inicial para encontrar $ b $:
2 raiz101
Elevando ambos os lados ao quadrado para facilitar:
b
|v0| = raizvx(0)^2 + vy(0)^2 = raiz2^2 + b^2 = 2 raiz101
2^2 + b^2 = (2 raiz101)^2
4 + b^2 = 4 times 101
4 + b^2 = 404 á

Passo 6

Agora que temos $ b = 20 $ cm/s, podemos determinar o ângulo de lançamento $ \theta $ usando a tangente do ângulo, que é a razão entre as componentes da velocidade:
b = 20
Para achar o ângulo $ \theta $, usamos a função inversa da tangente:
theta

Passo 7

Calculando o valor de $ \theta $:
theta

Resposta

O ângulo de inclinação do lançamento do projétil é aproximadamente $ 84,29^\circ $ e o valor do parâmetro $ b $ é $ 20 $ cm/s.

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