Um projétil lançado a partir do solo segue a seguinte trajetória:
com
em segundos e distância em centímetros.
Determine o ângulo de inclinação de lançamento do projétil. Calcule o valor do parâmetro
sabendo-se que a velocidade inicial da partícula é de
.
Determine o ângulo de inclinação de lançamento do projétil. Calcule o valor do parâmetro
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um projétil lançado do chão que segue uma trajetória definida por duas equações:
onde $ t $ é o tempo em segundos e a distância está em centímetros. Queremos descobrir o ângulo de lançamento do projétil e o valor de $ b $, sabendo que a velocidade inicial é de $ 2 \sqrt{101} $ cm/s. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, e algum conhecimento de trigonometria para achar o ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a velocidade inicial do projétil é o vetor velocidade no instante $ t = 0 $. Para achar esse vetor, precisamos calcular as derivadas das funções $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação ao tempo, pois as derivadas representam as componentes da velocidade.
A velocidade em $ t $ é dada por:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando $ v_x(t) $:
Calculando $ v_y(t) $:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a velocidade no instante $ t = 0 $ para encontrar a velocidade inicial $ \mathbf{v}_0 $:
Então, a velocidade inicial é:
Passo 5
Sabemos que a velocidade inicial tem magnitude $ 2 \sqrt{101} $ cm/s. Vamos usar a fórmula da magnitude do vetor velocidade inicial para encontrar $ b $:
Elevando ambos os lados ao quadrado para facilitar:
Passo 6
Agora que temos $ b = 20 $ cm/s, podemos determinar o ângulo de lançamento $ \theta $ usando a tangente do ângulo, que é a razão entre as componentes da velocidade:
Para achar o ângulo $ \theta $, usamos a função inversa da tangente:
Passo 7
Calculando o valor de $ \theta $:
Resposta
O ângulo de inclinação do lançamento do projétil é aproximadamente $ 84,29^\circ $ e o valor do parâmetro $ b $ é $ 20 $ cm/s.