2.4 A particle of mass
is constrained to lie along a frictionless, horizontal plane subject to a force given by the expression
. It is projected from
to the right along the positive
direction with initial kinetic energy
and
are positive constants. Find (a) the potential energy function
for this force; (b) the kinetic energy, and (c) the total energy of the particle as a function of its position. (d) Find the turning points of the motion. (e) Sketch the potential, kinetic, and total energy functions. (Optional: Use Mathcad or Mathematica to plot these functions. Set
and
each equal to 1.)
2.5 As in the problem above, the particle is projected to the right with initial kinetic energy
but subject to a force
, where
and
are positive constants. Find (a) the potential energy function
for this force; (b) the kinetic energy, and (c) the total energy of the particle as a function of its position. (d) Find the turning points of the motion and the condition the total energy of the particle must satisfy if its motion is to exhibit turning points. (e) Sketch the potential, kinetic, and total energy functions. (Optional: Use Mathcad or Mathematica to plot these functions. Set
and A each equal to 1 .)
2.5 As in the problem above, the particle is projected to the right with initial kinetic energy
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que ele pede para cada item. Peguei do enunciado os valores e as expressões seguintes.
Para o problema 2.4:
- A força é
, com . - A energia cinética inicial quando
é , com .
O que se pede:
(a) função energia potencialcorrespondente a ;
(b) energia cinéticaem função de ;
(c) energia totalem função de ;
(d) pontos de inversão (turning points) do movimento;
(e) esboço (descrição) de, e .
Para o problema 2.5:
- A força é
, com e . - A energia cinética inicial quando
é (o enunciado diz “como no problema acima”, então pode ser tratado simbolicamente, e depois avaliamos o caso se for pedido).
O que se pede:
(a)para essa força;
(b);
(c) energia total;
(d) pontos de inversão e a condição quedeve satisfazer para haver pontos de inversão;
(e) esboço (descrição) de, e .
Observação útil que vou usar sempre: para uma força conservativa unidimensional vale a relação
logo
e a energia mecânica total
se conserva:
Passo 2
Resolver o problema 2.4 — encontrar
.
Parto da relação
. Como
,
Agora integro em
para obter
. A integral é simples:
. Então
Escolho a constante de referência para potencial de forma conveniente. O enunciado normalmente permite escolher
. Tomando
obtém-se
. Portanto
Explicação didática curta: integrar
é direto;
é constante e a antiderivada de
é
. Fixar
é uma escolha de referência comum que facilita contas.
Passo 3
Ainda no 2.4 — encontrar
e
.
A energia total
é conservada e vale o valor inicial quando
. No enunciado foi dado
e com a escolha
tem-se
Portanto a energia total é constante e igual a
.
Usando conservação de energia, a energia cinética em função de
é
Comentário didático: essa expressão mostra que quanto maior
(isto é, quanto maior
), menor a energia cinética — intuitivamente a força conservativa converte energia cinética em potencial e vice-versa.
Passo 4
Ainda no 2.4 — localizar os pontos de inversão (turning points).
Pontos de inversão ocorrem quando
(velocidade nula). Assim igualamos
Logo
Interpretação: o movimento é oscilatório entre
e
. Com a condição inicial dada (projetado para a direita a partir de
), a partícula irá até
, inverterá sentido e depois até
, e assim por diante — é o oscilador harmônico simples.
Passo 5
Ainda no 2.4 — esboço e descrição das curvas
,
e
.
-
é uma parábola voltada para cima com mínimo em e crescimento quadrático com . -
é uma linha horizontal constante no valor da energia total. -
é uma parábola invertida (aberta para baixo) que tem máximo em com e zera em .
Esboço mental: desenharcomo uma parábola; traçar uma linha horizontal em altura ; então é a diferença vertical entre a linha horizontal e a parábola, resultando numa parábola invertida que toca o eixo em .
Passo 6
Resolver o problema 2.5 — encontrar
para
.
Usando
,
Integro em
:
Novamente escolho a referência
, o que dá
. Assim
Comentário didático: é um potencial quartico com coeficiente negativo do termo
, então para grandes
o potencial tende a
.
Passo 7
Ainda no 2.5 — energia total
e energia cinética
.
A constante da energia total
é o valor inicial
se escolher
. Logo para energia inicial geral
temos
A energia cinética em função de
é
Se quisermos escrever com
substituído por
(caso análogo ao problema 2.4), então
Passo 8
No 2.5 — achar os pontos de inversão (condição
) e discutir a condição sobre
para existir turning points.
Igualamos
, isto é
Multiplico ambos os lados por
ou procuro eliminar constantes sistematicamente. Primeiro divido por
(assumindo
):
Multiplico por
:
Coloco tudo numa forma polinomial:
Defino
(pois a equação é quadrática em
):
Solução para
:
Posso factorar a raiz como
. Logo escrevo
Para que existam raízes reais para
(e portanto para
) é necessário que o discriminante dentro da raiz seja não negativo:
Portanto a condição necessária e suficiente para existirem soluções reais de
é
Interpretação física e detalhes:
- O potencial
tem um mínimo local em com , e máximos locais em com
- Assim
é a altura do “barreiral” local. Se há interseções dando turning points confinados ao entorno de . Se a partícula pode exatamente chegar ao topo (ponto de inversão degenerado). Se então a partícula tem energia suficiente para ultrapassar o máximo local e como quando não há pontos de inversão (nenhum com ); em outras palavras, a partícula pode escapar para |x| grandes sem parar. - Assim a condição pedida no enunciado para existir turning points é
Passo 9
Aplicação ao caso específico em que a energia inicial é
(como no problema 2.4) para o problema 2.5.
Calculamos o discriminante
com
:
Portanto não há raízes reais: para essa energia inicial particular (metade de
) temos
, ou seja energia maior que o máximo local, logo não existem turning points — a partícula escapa para |x| grandes.
Passo 10
Esboço e descrição das curvas para o problema 2.5.
-
: para pequeno domina o termo quadrático e o potencial tem mínimo em com ; chega a um máximo local em com ; para grandes o termo domina e . Assim o gráfico tem um “poço” central seguido de um “barreiral” em e depois cai para . - Linha horizontal
representa a energia total. Se a linha corta em até quatro pontos (dois internos próximos à origem e dois externos), e a parte ligada ao início em determina os turning points internos (movimento ligado/oscilações). Se a linha não corta perto da origem, logo não há turning points e a partícula pode escapar. -
é simplesmente a diferença vertical entre a linha e o gráfico de . Quando (caso específico dado) tem-se e para todo , não existindo zeros e, portanto, sem turning points.
Resposta
2.4 (a)
2.4 (b)
2.4 (c) (constante).
2.4 (d) pontos de inversão:
2.4 (e) é uma parábola
(mínimo em
);
é uma linha horizontal em
;
é uma parábola invertida que vale
em
e zera em
.
2.4 (b)
2.4 (c)
2.4 (d) pontos de inversão:
2.4 (e)
2.5 (a)
2.5 (b)
2.5 (c) (constante). Em particular, se
então
2.5 (d) pontos de inversão são soluções de
2.5 (b)
2.5 (c)
2.5 (d) pontos de inversão são soluções de
ou seja
Para existirem raízes reais é necessário e suficiente
No caso
dado no enunciado, tem-se
e, portanto, não há turning points (a partícula escapa).
2.5 (e) tem mínimo em
com
, máximos locais em
com
, e
quando
. A linha
horizontal corta
gerando turning points só se
;
é a diferença
.
2.5 (e)