A incerteza na posição é 12 \AA para uma partícula de massa 9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}. A energia nominal da partícula é 16 eV . Determine a incerteza mínima em
(i) momento e (ii) energia cinética da partícula.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos):
Incerteza na posição: \Delta x = 12\\ \AA.
Massa da partícula: m = 9\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
Energia nominal (cinética) da partícula: E = 16\\ \mathrm{eV}.
O que o problema pede:
(i) determinar a incerteza mínima no momento, \Delta p_{\min};
(ii) determinar a incerteza mínima na energia cinética, \Delta K_{\min}.
Passo 2
A ferramenta principal aqui é o princípio da incerteza posição-momento de Heisenberg, que relaciona as incertezas de posição e momento por
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.
Explicando cada símbolo:
\Delta x é a incerteza na posição (o dado do enunciado).
\Delta p é a incerteza no momento (que queremos).
\hbar é a constante de Planck reduzida, \hbar \approx 1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
Para obter a incerteza mínima assumimos o caso de igualdade (estado mínimo de incerteza), ou seja
\Delta p_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta x}.
Isso nos dá diretamente (i). Em seguida precisamos relacionar \Delta p com a incerteza na energia cinética. Para energia cinética não-relativística vale
K=\frac{p^{2}}{2m}.
Se o momento médio for p_{0} (relacionado à energia nominal) e a incerteza \Delta p for pequena comparada a p_{0}, podemos linearizar e usar
\Delta K \approx \left|\frac{dK}{dp}\right|_{p_{0}} \Delta p = \frac{p_{0}}{m}\,\Delta p.
Aqui:
p_{0} é o momento associado à energia cinética nominal E, dado por p_{0}=\sqrt{2mE} (com E em joules).
Vamos calcular tudo isso passo a passo.