A incerteza na posição é 12 \AA para uma partícula de massa 9 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}. A energia nominal da partícula é 16 eV . Determine a incerteza mínima em
(i) momento e (ii) energia cinética da partícula.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente o que temos):
  • Incerteza na posição: \Delta x = 12\\ \AA.
  • Massa da partícula: m = 9\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}.
  • Energia nominal (cinética) da partícula: E = 16\\ \mathrm{eV}.
    O que o problema pede:
    (i) determinar a incerteza mínima no momento, \Delta p_{\min};
    (ii) determinar a incerteza mínima na energia cinética, \Delta K_{\min}.

Passo 2

A ferramenta principal aqui é o princípio da incerteza posição-momento de Heisenberg, que relaciona as incertezas de posição e momento por
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.
Explicando cada símbolo:
  • \Delta x é a incerteza na posição (o dado do enunciado).
  • \Delta p é a incerteza no momento (que queremos).
  • \hbar é a constante de Planck reduzida, \hbar \approx 1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
Para obter a incerteza mínima assumimos o caso de igualdade (estado mínimo de incerteza), ou seja
\Delta p_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta x}.
Isso nos dá diretamente (i). Em seguida precisamos relacionar \Delta p com a incerteza na energia cinética. Para energia cinética não-relativística vale
K=\frac{p^{2}}{2m}.
Se o momento médio for p_{0} (relacionado à energia nominal) e a incerteza \Delta p for pequena comparada a p_{0}, podemos linearizar e usar
\Delta K \approx \left|\frac{dK}{dp}\right|_{p_{0}} \Delta p = \frac{p_{0}}{m}\,\Delta p.
Aqui:
  • p_{0} é o momento associado à energia cinética nominal E, dado por p_{0}=\sqrt{2mE} (com E em joules).
    Vamos calcular tudo isso passo a passo.

Passo 3

Primeiro converto unidades e constantes:
  • \Delta x = 12\\ \AA = 12\times10^{-10}\\ \mathrm{m} = 1{,}2\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
  • \hbar = 1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
Agora uso a fórmula da incerteza mínima no momento:
\Delta p_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta x} = \frac{1{,}054571817\times10^{-34}}{2\cdot 1{,}2\times10^{-9}}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
Faço a conta passo a passo:
2\cdot 1{,}2\times10^{-9}=2{,}4\times10^{-9},
\Delta p_{\min} = \frac{1{,}054571817\times10^{-34}}{2{,}4\times10^{-9}} = \left(\frac{1{,}054571817}{2{,}4}\right)\times10^{-25}.
Calculando o coeficiente:
\frac{1{,}054571817}{2{,}4}\approx 0{,}4394,
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\Delta p_{\min} \approx 4{,}39\times10^{-26}\\ \mathrm{kg\,m/s}.

Passo 4

Agora calculo a incerteza na energia cinética. Primeiro obtenho p_{0} a partir da energia nominal E=16\\ \mathrm{eV}. Converto E para joules:
1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
E = 16\times 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 2{,}563482614\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.
O momento correspondente é
p_{0}=\sqrt{2mE} =\sqrt{2\cdot(9\times10^{-31})\cdot(2{,}563482614\times10^{-18})}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
Calculo numérico:
2mE = 2\cdot9\times10^{-31}\cdot2{,}563482614\times10^{-18} = 4{,}614268705\times10^{-48},
p_{0}=\sqrt{4{,}614268705\times10^{-48}}\approx 2{,}15\times10^{-24}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
(Arredondei conservadoramente para três algarismos significativos.)

Passo 5

Usando a aproximação linear para \Delta K:
\Delta K_{\min}\approx \frac{p_{0}}{m}\,\Delta p_{\min}.
Substituo os valores numéricos:
\frac{p_{0}}{m} \approx \frac{2{,}15\times10^{-24}}{9\times10^{-31}} \approx 2{,}39\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Multiplico por \Delta p_{\min}:
\Delta K_{\min} \approx (2{,}39\times10^{6})\cdot(4{,}39\times10^{-26})\\ \mathrm{J} \approx 1{,}05\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Converto \Delta K_{\min} para \mathrm{eV}:
\Delta K_{\min} \approx \frac{1{,}05\times10^{-19}}{1{,}602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx 0{,}654\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Verificação rápida da validade da aproximação linear: calculo a razão \Delta p_{\min}/p_{0}:
\frac{\Delta p_{\min}}{p_{0}} \approx \frac{4{,}39\times10^{-26}}{2{,}15\times10^{-24}} \approx 0{,}0204 \;(\text{≈ }2{,}0\%),
ou seja, \Delta p é bem menor que p_{0}, portanto a aproximação linear \Delta K \approx (p_{0}/m)\Delta p é apropriada.

Resposta

(i) \Delta p_{\min} \approx 4{,}39\times10^{-26}\\ \mathrm{kg\,m/s}
(ii) \Delta K_{\min} \approx 1{,}05\times10^{-19}\\ \mathrm{J} \approx 0{,}654\\ \mathrm{eV}

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