Deseja-se produzir radiação de raios X com comprimento de onda de 1 \AA.
a. Através de qual diferença de potencial o elétron deve ser acelerado no vácuo para que, ao colidir com um alvo, gere tal fóton? (Suponha que toda a energia do elétron seja transferida para o fóton.)
b. Qual é o comprimento de onda de de Broglie do elétron na parte (a) imediatamente antes de atingir o alvo?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos dá uma informação principal:
  • Dado: deseja-se produzir fótons de raios X com comprimento de onda \,1\\ \text{\AA} (ou seja \,1\times10^{-10}\\ \text{m}).
  • Pressuposto: todo o trabalho (energia cinética) do elétron acelerado é transferido a um único fóton ao colidir com o alvo.
  • Pergunta (a): qual a diferença de potencial \,V necessária para acelerar o elétron antes da colisão?
  • Pergunta (b): qual é o comprimento de onda de de Broglie do elétron imediatamente antes de atingir o alvo (ou seja, com a energia correspondente àquela tensão)?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
  • Energia do fóton em função do comprimento de onda: a relação de Planck–Einstein é
E_{\text{fóton}}=\frac{hc}{\lambda},ó
onde:
  • \,h é a constante de Planck ( h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}),
  • \,c é a velocidade da luz no vácuo ( c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \text{m/s}),
  • \,\lambda é o comprimento de onda do fóton (em metros).
    Essa fórmula dá a energia em joules se h e c estiverem em SI.
  • Energia cinética adquirida por um elétron ao ser acelerado por uma diferença de potencial \,V: em eletrostática básica,
K=eV,
onde:
  • \,e é a carga elementar ( e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \text{C}),
  • \,V é a diferença de potencial em volts,
  • \,K fica em joules. (Se quisermos em eV, então K em eV é numericamente igual a V.)
  • Pelo enunciado estamos supondo que toda energia cinética do elétron vira a energia do fóton, então
eV = \frac{hc}{\lambda}.
Dessa equação isolamos \,V para responder a (a):
V=\frac{hc}{e\,\lambda}.

Passo 3

Cálculo numérico da parte (a) com explicações passo a passo:
  • Colocando \,\lambda=1\\ \text{\AA}=1\times10^{-10}\\ \text{m}.
  • Usando hc = 6{,}62607015\times10^{-34}\cdot 2{,}99792458\times10^{8}=1{,}986445857\times10^{-25}\\ \text{J}\cdot\text{m}.
  • Então a energia do fóton é
E_{\text{fóton}}=\frac{1{,}986445857\times10^{-25}}{1\times10^{-10}}=1{,}986445857\times10^{-15}\\ \text{J}.ó
  • Para converter em volts usando eV=E_{\text{fóton}}ó (J), isolamos V=E_{\text{fóton}}/eó:
V=\frac{1{,}986445857\times10^{-15}}{1{,}602176634\times10^{-19}} \approx 1{,}2405\times10^{4}\\ \text{V}.
  • Em termos mais práticos: \,V\approx1{,}24\times10^{4}\\ \text{V}, ou \,12{,}4\\ \text{kV}.
  • Observação útil (atalho comum): a constante hc também é frequentemente dada como 1240\\ \text{eV}\cdot\text{nm}. Como \,1\\ \text{\AA}=0{,}1\\ \text{nm}, tem-se E_{\text{fóton}}=1240/0{,}1=12400\\ \text{eV}ó, ou seja V=12400\\ \text{V}, mesmo resultado arredondado.

Passo 4

Conceito de de Broglie e escolha do método para (b):
  • A onda associada ao elétron (de Broglie) tem comprimento de onda
\lambda_{\text{dB}}=\frac{h}{p},
onde \,p é o momento linear do elétron (em \text{kg}\cdot\text{m/s}).
  • Para um elétron não relativístico com energia cinética K, o momento é dado por
p=\sqrt{2m_e K},
onde \,m_e é a massa do elétron ( m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \text{kg}).
  • Aqui temos que avaliar se podemos usar a expressão não relativística. Regra prática: se K é muito menor que a energia de repouso m_e c^2 (que é cerca de 511\\ \text{keV}), a aproximação não relativística é adequada. Nosso K\approx12{,}4\\ \text{keV}, que é pequeno comparado a 511\\ \text{keV} (aprox 2{,}4\% de m_e c^2). Portanto a aproximação não relativística é razoável; vamos calculá-la e depois verificar rapidamente a correção relativística (que será pequena).

Passo 5

Cálculo numérico do comprimento de onda de Broglie (não relativístico), passo a passo:
  • Energia cinética do elétron em joules (já calculada acima para o fóton): K=1{,}986445857\times10^{-15}\\ \text{J}.
  • Calculamos o momento
p=\sqrt{2m_e K}=\sqrt{2\cdot 9{,}10938356\times10^{-31}\cdot 1{,}986445857\times10^{-15}}.
  • Execute a multiplicação e raiz (mostrando o valor intermediário):
    • 2m_e K \approx 3{,}61906\times10^{-45}\\ \text{kg}^2\text{m}^2/\text{s}^2.
    • Portanto p\approx\sqrt{3{,}61906\times10^{-45}} \approx 6{,}0168\times10^{-23}\\ \text{kg}\cdot\text{m/s}.
  • Agora a de Broglie:
\lambda_{\text{dB}}=\frac{h}{p}=\frac{6{,}62607015\times10^{-34}}{6{,}0168\times10^{-23}}\approx 1{,}1010\times10^{-11}\\ \text{m}.
  • Em notação conveniente:
    • \lambda_{\text{dB}}\approx 1{,}10\times10^{-11}\\ \text{m},
    • que é \approx 0{,}110\\ \text{\AA} (lembre que 1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \text{m}).

Passo 6

Verificação da correção relativística (curta, para justificar a aproximação):
  • Energia de repouso do elétron: m_e c^2\approx511\\ \text{keV}. Nosso K\approx12{,}4\\ \text{keV} é pequeno em comparação.
  • Cálculo rápido do momento relativístico (opcional) daria um p cerca de 0{,}7\% maior que o calculado não relativisticamente, levando a uma \lambda_{\text{dB}} cerca de 0{,}7\% menor. Ou seja, a diferença é menor que 1\%. Portanto o valor não relativístico acima é suficientemente preciso para uma prova de graduação padrão e para uso prático.

Resposta

V \approx 1,24\times10^{4}\\ \text{V}
\lambda_{\text{dB}} \approx 1,10\times10^{-11}\\ \text{m} \approx 0,110\\ \text{\AA}

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