Deseja-se produzir radiação de raios X com comprimento de onda de
.
a. Através de qual diferença de potencial o elétron deve ser acelerado no vácuo para que, ao colidir com um alvo, gere tal fóton? (Suponha que toda a energia do elétron seja transferida para o fóton.)
b. Qual é o comprimento de onda de de Broglie do elétron na parte (a) imediatamente antes de atingir o alvo?
a. Através de qual diferença de potencial o elétron deve ser acelerado no vácuo para que, ao colidir com um alvo, gere tal fóton? (Suponha que toda a energia do elétron seja transferida para o fóton.)
b. Qual é o comprimento de onda de de Broglie do elétron na parte (a) imediatamente antes de atingir o alvo?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e nos dá uma informação principal:
- Dado: deseja-se produzir fótons de raios X com comprimento de onda
(ou seja ). - Pressuposto: todo o trabalho (energia cinética) do elétron acelerado é transferido a um único fóton ao colidir com o alvo.
- Pergunta (a): qual a diferença de potencial
necessária para acelerar o elétron antes da colisão? - Pergunta (b): qual é o comprimento de onda de de Broglie do elétron imediatamente antes de atingir o alvo (ou seja, com a energia correspondente àquela tensão)?
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática):
- Energia do fóton em função do comprimento de onda: a relação de Planck–Einstein é
onde:
-
é a constante de Planck ( ), -
é a velocidade da luz no vácuo ( ), -
é o comprimento de onda do fóton (em metros).
Essa fórmula dá a energia em joules see estiverem em SI. -
Energia cinética adquirida por um elétron ao ser acelerado por uma diferença de potencial
: em eletrostática básica,
onde:
-
é a carga elementar ( ), -
é a diferença de potencial em volts, -
fica em joules. (Se quisermos em eV, então em eV é numericamente igual a .) -
Pelo enunciado estamos supondo que toda energia cinética do elétron vira a energia do fóton, então
Dessa equação isolamos
para responder a (a):
Passo 3
Cálculo numérico da parte (a) com explicações passo a passo:
- Colocando
. - Usando
. - Então a energia do fóton é
- Para converter em volts usando
(J), isolamos :
- Em termos mais práticos:
, ou . - Observação útil (atalho comum): a constante
também é frequentemente dada como . Como , tem-se , ou seja , mesmo resultado arredondado.
Passo 4
Conceito de de Broglie e escolha do método para (b):
- A onda associada ao elétron (de Broglie) tem comprimento de onda
onde
é o momento linear do elétron (em
).
- Para um elétron não relativístico com energia cinética
, o momento é dado por
onde
é a massa do elétron (
).
- Aqui temos que avaliar se podemos usar a expressão não relativística. Regra prática: se
é muito menor que a energia de repouso (que é cerca de ), a aproximação não relativística é adequada. Nosso , que é pequeno comparado a (aprox de ). Portanto a aproximação não relativística é razoável; vamos calculá-la e depois verificar rapidamente a correção relativística (que será pequena).
Passo 5
Cálculo numérico do comprimento de onda de Broglie (não relativístico), passo a passo:
- Energia cinética do elétron em joules (já calculada acima para o fóton):
. - Calculamos o momento
- Execute a multiplicação e raiz (mostrando o valor intermediário):
-
. - Portanto
-
- Agora a de Broglie:
- Em notação conveniente:
-
, - que é
(lembre que ).
-
Passo 6
Verificação da correção relativística (curta, para justificar a aproximação):
- Energia de repouso do elétron:
. Nosso é pequeno em comparação. - Cálculo rápido do momento relativístico (opcional) daria um
cerca de maior que o calculado não relativisticamente, levando a uma cerca de menor. Ou seja, a diferença é menor que . Portanto o valor não relativístico acima é suficientemente preciso para uma prova de graduação padrão e para uso prático.