Quando o princípio da incerteza é considerado, não é possível localizar um fóton no espaço com precisão maior que cerca de um comprimento de onda. Considere um fóton com comprimento de onda \lambda=1 \mu \mathrm{~m}. Qual é a incerteza no momento do fóton?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara):
  • Dado: comprimento de onda do fóton \lambda = 1\\ \mu\mathrm{m}.
  • Informação adicional do enunciado: ao considerar o princípio da incerteza, não se pode localizar um fóton com precisão maior do que cerca de um comprimento de onda. Logo podemos tomar a incerteza na posição como \Delta x \approx \lambda.
  • Pedido: calcular a incerteza no momento linear do fóton \Delta p.

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê?
O princípio da incerteza de Heisenberg relaciona as incertezas de posição e momento por
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2},
onde:
  • \Delta x é a incerteza na posição (em metros),
  • \Delta p é a incerteza no momento linear (em \mathrm{kg\cdot m/s}),
  • \hbar é a constante de Planck reduzida, \hbar = \dfrac{h}{2\pi} (em \mathrm{J\cdot s}).
Explicando de forma simples: quanto mais preciso for o local onde o fóton está ( \Delta x pequeno), maior tem de ser a incerteza no seu momento ( \Delta p grande). Aqui o enunciado diz que a melhor localização possível é da ordem de \lambda, então vamos substituir \Delta x \approx \lambda na desigualdade para obter um valor mínimo típico para \Delta p:
\Delta p \gtrsim \frac{\hbar}{2\,\Delta x} \approx \frac{\hbar}{2\lambda}.

Passo 3

Colocar valores numéricos e unidades:
  • Converter o comprimento de onda para metros:
\lambda = 1\\ \mu\mathrm{m} = 1\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Valor numérico da constante de Planck reduzida:
\hbar \approx 1,054571817\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
Agora calculamos a incerteza mínima aproximada:
\Delta p \gtrsim \frac{\hbar}{2\lambda} = \frac{1,054571817\times10^{-34}}{2\times 1\times10^{-6}} = 5,272859085\times10^{-29}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Arredondando com três algarismos significativos:
\Delta p \gtrsim 5,27\times10^{-29}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Interpretação prática (para ver se o valor faz sentido): o momento médio (módulo) de um fóton de comprimento de onda \lambda é dado por
p = \frac{h}{\lambda},
onde h é a constante de Planck, h \approx 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}. Para \lambda=1\times10^{-6}\\ \mathrm{m},
p = \frac{6,62607015\times10^{-34}}{1\times10^{-6}} = 6,62607015\times10^{-28}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
A razão entre a incerteza mínima e o momento típico é
\frac{\Delta p}{p} \gtrsim \frac{5,272859085\times10^{-29}}{6,62607015\times10^{-28}} \approx 0,0796 \approx 7,96\%.
Ou seja, localizar o fóton com precisão de uma onda implica uma incerteza de momento da ordem de 8\% do momento central — um número razoável e intuitivo.

Passo 5

Resumo motivacional e dica para a prova: memorize a forma \Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2 e que, se for dito que \Delta x é da ordem de \lambda, basta substituir \Delta x\approx\lambda para obter \Delta p\approx\hbar/(2\lambda). Calcule sempre em SI (metros, joule·segundo) e verifique a ordem de grandeza.

Resposta

\Delta p \gtrsim 5,27\times10^{-29}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}

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