A energia do elétron é medida com uma incerteza não maior que 0,8 \mathrm{eV}. Determine a incerteza mínima no tempo durante o qual a medida é realizada.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Dado: a incerteza na energia é no máximo \Delta E \leq 0,8\\ \mathrm{eV}.
  • Pedido: determinar a incerteza mínima no tempo \Delta t durante a qual a medida é realizada.

Passo 2

Qual relação vou usar e por quê (explicação didática):
  • A relação que liga incerteza de energia e incerteza de tempo é a desigualdade de incerteza tempo-energia, que pode ser escrita como
\Delta E\,\Delta t \geq \frac{\hbar}{2}.
  • Aqui:
    • \Delta E é a incerteza na energia (em joules);
    • \Delta t é a incerteza mínima no tempo (em segundos) associada à medida/tempo de vida do estado;
    • \hbar é a constante de Planck reduzida, com valor \hbar = 1,054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • Interpretando: se a energia é conhecida com precisão maior (pequena \Delta E), então o intervalo de tempo necessário para essa medição precisa ser maior; para obter a menor \Delta t compatível com uma dada \Delta E usamos a igualdade mínima
\Delta t_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta E}.

Passo 3

Converter \Delta E para unidades SI (joule):
  • 1 electronvolt vale 1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Como \Delta E = 0,8\\ \mathrm{eV}, em joules:
\Delta E = 0,8 \times 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 1,281741307\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular \Delta t_{\min} usando a fórmula:
  • Primeiro calcule 2\,\Delta E:
2\,\Delta E = 2 \times 1,281741307\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 2,563482614\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Agora aplique
\Delta t_{\min} = \frac{\hbar}{2\,\Delta E} = \frac{1,054571817\times10^{-34}}{2,563482614\times10^{-19}}\\ \mathrm{s}.
  • Fazendo a divisão obtemos
\Delta t_{\min} \approx 4,12\times10^{-16}\\ \mathrm{s}.
  • Para ficar com unidades mais intuitivas: 4,12\times10^{-16}\\ \mathrm{s} = 0,412\\ \mathrm{fs} (femtossegundos) = 412\\ \mathrm{as} (attossegundos).

Passo 5

Interpretação final (curtinha e motivadora):
  • Isso significa que, se a energia do elétron for medida com incerteza de até 0,8\\ \mathrm{eV}, a medida precisa durar pelo menos da ordem de 10^{-16}\\ \mathrm{s}. Sei que é um tempo supercurto — estamos no reino dos attossegundos — mas é isso que a física quântica exige. Vai dar tudo certo na prova: memorize a forma \Delta E\,\Delta t \gtrsim \hbar/2 e o procedimento de conversão de unidades que fizemos.

Resposta

\Delta t_{\min} \approx 4,12\times10^{-16}\\ \mathrm{s}

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