(Incropera et al., 6 ed., 5 S 13 ) Um longo bastão com 20 mm de diâmetro é fabricado em alumina (óxido de alumínio policristalino) e se encontra inicialmente a uma temperatura uniforme de 850 K . O bastão é subitamente exposto a um fluido a 350 K , com h =500 W / m^2 K. Estime as temperaturas no eixo central do bastão, em uma das extremidades expostas e a uma distância axial de 6 mm dessa extremidade, 30 s após o início da exposição do bastão ao fluido. Resp: 561 K ; 604 K.

Passo 1

O enunciado pede as temperaturas de um bastão cilíndrico de alumina (diâmetro 20 mm) que estava a 850 K e é subitamente exposto a um fluido a 350 K com coeficiente convectivo h=500 W/m²K. O conteúdo é condução transiente em cilindro com convecção na superfície, e vamos usar a aproximação de primeiro termo da solução em série com números de Fourier (Fo) e Biot (Bi).

Passo 2

Precisamos dos dados termofísicos da alumina: condutividade térmica k=30 W/mK, densidade ρ=3900 kg/m³ e calor específico cp=880 J/kgK. Com isso calculamos a difusividade térmica e os números adimensionais:
Calculamos a difusividade e o número de Fourier:
α=kρcp=303900cdot880approx8,74times10^-6,m^2/s, Fo=αtR^2=8,74times10^-6cdot30(0,01)^2approx2,62

Passo 3

O número de Biot é
Bi=hRk=500cdot0,0130approx0,167
Para o modo dominante (n=1), obtemos o autovalor ζ₁ solucionando ζ₁J₁(ζ₁)=Bi·J₀(ζ₁). Numericamente ζ₁≈0{,}562.
O coeficiente A₁ da série para cilindro convectivo é dado por uma expressão padrão (ver tabelas), que para Bi≈0,17 resulta em A₁≈0,97.

Passo 4

A solução de primeiro termo para a temperatura adimensional é
T(r,t)-T∞Ti-T∞approx A₁expl(-ζ₁^2For),J0l(ζ₁tfracrRr)
Para o centro do cilindro (r=0 temos J₀(0)=1) aparece:
T(0,30s)=T∞+(Ti-T∞),A₁exp(-ζ₁^2Fo)
Substituindo valores dá
T(0,30s)approx350+500times0,97exp[-(0,562)^2times2,62]approx561,K

Passo 5

Para o ponto a 6 mm abaixo da superfície radial temos r=R–6 mm=4 mm, logo r/R=0,4 e J₀(ζ₁·0,4)≈0,99. Assim:
T(4,mm,30s)approx350+500times0,97exp[-(0,562)^2times2,62]times0,99approx604,K

Resposta

T no centro ≃561 K; T a 6 mm da superfície ≃604 K.

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