(Incropera et al., 6 ed., 5 S 13 ) Um longo bastão com 20 mm de diâmetro é fabricado em alumina (óxido de alumínio policristalino) e se encontra inicialmente a uma temperatura uniforme de 850 K . O bastão é subitamente exposto a um fluido a 350 K , com h
. Estime as temperaturas no eixo central do bastão, em uma das extremidades expostas e a uma distância axial de 6 mm dessa extremidade, 30 s após o início da exposição do bastão ao fluido. Resp:
.
Passo 1
O enunciado pede as temperaturas de um bastão cilíndrico de alumina (diâmetro 20 mm) que estava a 850 K e é subitamente exposto a um fluido a 350 K com coeficiente convectivo h=500 W/m²K. O conteúdo é condução transiente em cilindro com convecção na superfície, e vamos usar a aproximação de primeiro termo da solução em série com números de Fourier (Fo) e Biot (Bi).
Passo 2
Precisamos dos dados termofísicos da alumina: condutividade térmica k=30 W/mK, densidade ρ=3900 kg/m³ e calor específico cp=880 J/kgK. Com isso calculamos a difusividade térmica e os números adimensionais:
Calculamos a difusividade e o número de Fourier:
Calculamos a difusividade e o número de Fourier:
Passo 3
O número de Biot é
Para o modo dominante (n=1), obtemos o autovalor ζ₁ solucionando ζ₁J₁(ζ₁)=Bi·J₀(ζ₁). Numericamente ζ₁≈0{,}562.
O coeficiente A₁ da série para cilindro convectivo é dado por uma expressão padrão (ver tabelas), que para Bi≈0,17 resulta em A₁≈0,97.
Passo 4
A solução de primeiro termo para a temperatura adimensional é
Para o centro do cilindro (r=0 temos J₀(0)=1) aparece:
Substituindo valores dá
Passo 5
Para o ponto a 6 mm abaixo da superfície radial temos r=R–6 mm=4 mm, logo r/R=0,4 e J₀(ζ₁·0,4)≈0,99. Assim:
Resposta
T no centro ≃561 K; T a 6 mm da superfície ≃604 K.