1. (Incropera, 4ed., ex. 5.90 - modificado) Uma placa de grande espessura, com difusividade térmica de 5,6 times 10^-6 m^2 / s e condutividade térmica de 20 W / m cdot K, está inicialmente a uma temperatura uniforme de 325^circ C. De repente, a sua superfície é exposta a uma substância refrigerante que se encontra a 15^circ C e mantém um coeficiente de transferência de calor por convecção de 100 W / m^2 K. Usando o método de diferenças finitas com um incremento espacial de De e um incremento no tempo de 20 s , determine as temperaturas na superfície e a uma profundidade de 45 mm , passado 1 min do início do processo.

Passo 1

O enunciado trata de uma placa de espessura grande (comportando‐se como semi‐infinita) inicialmente à temperatura uniforme de 325^circC. A partir de t=0 a superfície é exposta a um fluido a 15^circC com coeficiente de convecção h=100,W/m^2K. As propriedades do sólido são difusividade térmica alpha=5,6times10^-6,m^2/s e condutividade k=20,W/mK. Usaremos o método explícito de diferenças finitas em 1D, com De e De, para obter T em x=0 e x=45,mm após 1 min.

Passo 2

Calculamos os números adimensionais de Fourier e Biot:
Fo=alpha,De
Bi=h,De

Passo 3

Discretizamos quatro nós: i=0 (superfície), i=1 em 15 mm, i=2 em 30 mm e i=3 em 45 mm. Como é semi‐infinito, assumimos um nó fictício i=4 a 60 mm mantido em 325^circC. As equações explícitas são:
Para a superfície (BC convectiva):
T0^n+1=T0^n+2,Fol[T1^n-T0^n-Bi(T0^n-Tinfty)r],
Para nós internos i=1,2:
Ti^n+1=Ti^n+Fol(Ti+1^n-2Ti^n+Ti-1^nr),
Para i=3 usamos T4^n=325^circC na vizinhança profunda.

Passo 4

Condições iniciais em t=0:
Ti^0=325^circC, i=0,1,2,3, Tinfty=15^circC

Passo 5

Agora executamos as três iterações ( De, total de 60 s):
n=1 (20 s):
T0^1=325+2cdot0,498l[325-325-0,075(325-15)r]approx301,86^circC,
T1^1=325+0,498(325-650+325)=325^circC,
T2^1=325^circC, T3^1=325^circC

Passo 6

n=2 (40 s):
T0^2=301,86+2cdot0,498l[325-301,86-0,075(301,86-15)r]approx303,48^circC,
T1^2=325+0,498(325-650+301,86)approx313,48^circC,
T2^2=325^circC, T3^2=325^circC

Passo 7

n=3 (60 s):
T0^3=303,48+2cdot0,498l[313,48-303,48-0,075(303,48-15)r]approx291,90^circC,
T1^3=313,48+0,498(325-2times313,48+303,48)approx314,24^circC,
T2^3=325+0,498(325-2times325+313,48)approx319,27^circC, T3^3=325^circC

Resposta

Em t=60 s:Temperatura na superfície (x=0)=291,90 °C;Temperatura a 45 mm (x=45 mm)=325 °C.

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