1. (Incropera, 4ed., ex. 5.52) Uma pedra esférica de granizo, com 5 mm de diâmetro, é formada a 30^circ C em uma nuvem localizada a uma altitude elevada. Se a pedra começa a cair através do ar mais quente, a 5^circ C, quanto tempo levará até que sua superfície externa comece a derreter? Qual é a temperatura no centro da pedra de granizo nesse instante, e quanta energia (J) foi transferida para a pedra até esse momento? Utilize um coeficiente de transferência de calor por convecção de 250 W / m^2 K e considere as propriedades do granizo idênticas às do gelo.

Passo 1

O enunciado pede para uma esfera de gelo de diâmetro 5 mm, inicial a –30 °C, imersa num ar a +5 °C com coeficiente de convecção h=250 W/m²K. O conteúdo é condução transiente em corpo de pequeno Biot e vamos usar o método de capacitância concentrada (lumped capacitance) para determinar o tempo até a superfície atingir 0 °C, depois achar a temperatura no centro e a energia absorvida.

Passo 2

Calcular o número de Biot para verificar a validade do modelo lumped. Usamos comprimento característico L_c=V/A. Para a esfera de diâmetro d=0{,}005 m:
V=pi d^36, A=pi d^2, Lc=VA=d6=0,000833,m
Bi=hLck=250times0,0008332,2approx0,095<0,1, logo o lumped capacitance vale.

Passo 3

Pela equação de resfriamento/aquecimento lumped temos
T(t)-TinftyTi-Tinfty=expl(-hArho V cptr)

Passo 4

Isolando o tempo para T(t)=0 °C, com T_\infty=5 °C e T_i=–30 °C,
t=rho V cph AlnTinfty-TiTinfty-0=tauln5-(-30)5-0

Passo 5

Calculando massa e constante de tempo:
V=6,544times10^-8,m^3, A=7,854times10^-5,m^2,
m=rho V=917times6,544times10^-8=6,00times10^-5,kg,
tau=m cph A=6,00times10^-5times2100250times7,854times10^-5approx6,42,s,
ln355=ln7approx1,946, t=6,42times1,946approx12,5,s

Passo 6

Como lumped implica temperatura uniforme, a temperatura no centro é igual à da superfície, ou seja 0 °C.

Passo 7

A energia absorvida até aí é Q=mc_p(0-(-30)):
Q=m cpDe

Resposta

Tempo ≈12,5 s; temperatura no centro ≈0 °C; energia absorvida ≈3,8 J

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