(Incropera, 3.79) Um cabo de cobre, com 30 mm de diâmetro e resistência elétrica de 5 times 10^-3 Omega / m conduz uma corrente elétrica de 250 A . O cabo está exposto ao ar ambiente a 20^circ C, onde o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 25 W / m^2 K. Quais são as temperaturas na superfície e no centro do cabo de cobre?

Passo 1

O problema pede as temperaturas na superfície e no centro de um cabo cilíndrico de cobre em regime permanente, com geração interna de calor por efeito Joule e resfriamento por convecção na superfície. O que vamos usar: balanço de energia por unidade de comprimento para achar a temperatura de superfície e a solução da equação de condução radial com geração interna para achar a diferença até o centro.

Passo 2

Primeiro, calculo a potência gerada por unidade de comprimento do cabo: a resistência elétrica por metro é R'=5times10^-3 Omega/m e a corrente é I=250 A. Logo
Q' = I^2,R' = (250)^2 times 5times10^-3 = 312.5 W/m

Passo 3

Em seguida, uso o balanço convectivo na superfície para achar Ts. A área de convecção por metro de cabo é As = 2pi r0, com r0 = 0.015 m, e o coeficiente é h=25 W/m^2K. Então
Q' = h,As,(Ts - Tinfty) Longrightarrow Ts = Tinfty + Q'h,2pi r0
Substituindo valores:
Ts = 20 + 312.525times2pitimes0.015 approx 152.7 ^circC

Passo 4

Por fim, a diferença de temperatura entre o centro e a superfície em um cilindro com geração interna e condutividade térmica k=384 W/mK é
De
Logo
De
o que dá a temperatura central
Tc = Ts + De

Resposta

Temperatura da superfície: 152.7 °C; Temperatura no centro: 152.8 °C.

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