(Incropera, 4ed., ex. 4.45) Seja uma aleta unidimensional, com área de seção uniforme, isolada na sua extremidade, x=L. A temperatura na base da aleta Tb, a temperatura do fluido adjacente Tinfty bem como o coeficiente de transferência de calor por convecção h e a condutividade térmica k são conhecidos.
Desenvolva a equação em diferenças finitas para qualquer nodo interior m.

Passo 1

O enunciado pede a equação em diferenças finitas para a aleta unidimensional em regime permanente, com condução no sólido e convecção na superfície, base em temperatura fixa Tb, fluido a Tinfty, coeficiente h e condutividade k. Vamos usar uma malha uniforme de espaçamento De e tratar um nodo interior m.

Passo 2

Em regime permanente e em uma dimensão, o balanço de energia na aleta leva à equação diferencial clássica
d^2Tdx^2-hPkAl(T-Tinftyr)=0
onde P é o perímetro molhado e A a área da seção transversal.

Passo 3

Para discretizar d^2T/dx^2 no ponto xm usamos a diferença central
d^2Tdx^2|xmapproxTm+1-2Tm+Tm-1(De
e mantemos o termo de convecção no ponto m.

Passo 4

Substituindo na equação diferencial e igualando a zero, obtemos
Tm+1-2Tm+Tm-1(De.

Passo 5

Reorganizando em forma padrão de esquema linear, temos
Tm-1+Tm+1-l[2+hP(De
que é a equação em diferenças finitas para qualquer nodo interior m.

Resposta

Para um nodo interior m, a equação em diferenças finitas é:
Tm-1+Tm+1-l[2+hP(De

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