(Incropera, 4ed., ex. 4.45) Seja uma aleta unidimensional, com área de seção uniforme, isolada na sua extremidade, . A temperatura na base da aleta , a temperatura do fluido adjacente bem como o coeficiente de transferência de calor por convecção e a condutividade térmica são conhecidos.
Desenvolva a equação em diferenças finitas para qualquer nodo interior .
Passo 1
O enunciado pede a equação em diferenças finitas para a aleta unidimensional em regime permanente, com condução no sólido e convecção na superfície, base em temperatura fixa , fluido a , coeficiente e condutividade . Vamos usar uma malha uniforme de espaçamento e tratar um nodo interior .
Passo 2
Em regime permanente e em uma dimensão, o balanço de energia na aleta leva à equação diferencial clássica
onde é o perímetro molhado e a área da seção transversal.
Passo 3
Para discretizar no ponto usamos a diferença central
e mantemos o termo de convecção no ponto m.
Passo 4
Substituindo na equação diferencial e igualando a zero, obtemos
Tm+1-2Tm+Tm-1(De.
Passo 5
Reorganizando em forma padrão de esquema linear, temos
Tm-1+Tm+1-l[2+hP(De
que é a equação em diferenças finitas para qualquer nodo interior m.
Resposta
Para um nodo interior m, a equação em diferenças finitas é: