(incropera) Considere os fluidos a seguir a uma temperatura de do filme de 300 K , em escoamento paralelo sobre uma placa plana com uma velocidade de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s} : ar atmosférico e óleo de motor.
a) Determine a espessura da camada limite de velocidade e térmica a uma distância de 40 mm da aresta frontal.
b) Calcule no numero de Nusselt médio e o fluxo de calor a 40 mm

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados e condições fornecidas:
  • Escoamento paralelo sobre placa plana, velocidade do escoamento livre U_\infty = 1\\ \mathrm{m/s}.
  • Distância desde a aresta frontal onde se pede a resposta: x = 40\\ \mathrm{mm} = 0{,}04\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura do filme (temperatura de referência para propriedades): T_{\text{film}} = 300\\ \mathrm{K}.
  • Fluidos considerados: ar atmosférico e óleo de motor (propriedades não fornecidas no enunciado; vou adotar valores típicos à 300\\ \mathrm{K} a partir de tabelas padrão — veja abaixo).
O que o enunciado pede:
(a) Determinar, para cada fluido, a espessura da camada limite de velocidade e da camada limite térmica em x=0{,}04\\ \mathrm{m}.
(b) Calcular, para cada fluido, o número de Nusselt médio (médio sobre a placa de comprimento L=0{,}04\\ \mathrm{m}) e o fluxo de calor em x=0{,}04\\ \mathrm{m}.
Observação importante que afeta o cálculo do fluxo de calor: o enunciado não fornece a temperatura da superfície da placa T_s nem a diferença de temperatura. Para obter um fluxo de calor numérico é necessário conhecer T_s. Assim, vou:
  • calcular o coeficiente convectivo médio h a partir de \mathrm{Nu}_{\text{médio}}é,
  • expressar o fluxo de calor por unidade de área como \dot{q}'' = h\,(T_s - T_\infty), deixando a dependência em \Delta T explícita, porque T_s não foi dada.
Propriedades adotadas (valores típicos em tabelas à 300\\ \mathrm{K}):
  • Para o ar: \rho = 1{,}177\\ \mathrm{kg/m^3},\\ \mu = 1{,}846\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\ \nu=\dfrac{\mu}{\rho}=1{,}568\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},\\ k=0{,}0263\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\ \mathrm{Pr}=0{,}71.
  • Para o óleo de motor (valores representativos; óleos variam muito): \rho = 870\\ \mathrm{kg/m^3},\\ \nu = 1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s}\\ (\text{isto corresponde a }100\\ \text{cSt}),\\ k=0{,}13\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\ c_p\approx 1900\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Com esses valores a Prandtl do óleo fica
\mathrm{Pr}=\frac{\nu\,\rho\,c_p}{k}\approx 1272.
Nota sobre as escolhas: os valores do óleo são aproximados (o óleo de motor real depende do tipo e da temperatura). Se houver uma tabela dada pelo professor, substituir esses valores pelas do enunciado; se não, estes valores são apropriados para exercícios de transferência de calor.

Passo 2

Verificar regime (laminar/turbulento) e definir fórmulas que usaremos.
  • Definição do número de Reynolds local:
\mathrm{Re}_x = \frac{U_\infty\,x}{\nu}.
Para escoamento sobre placa plana, para regime laminar (válido enquanto \mathrm{Re}_x \lesssim 5\times10^5), usamos as correlações clássicas:
  • Espessura da camada limite de velocidade (aproximação para \delta_{99}, camada onde a velocidade atinge 99% de U_\infty):
\delta_{99}(x) \approx 5\,\sqrt{\frac{\nu\,x}{U_\infty}}.
Explicação rápida desta fórmula: a solução de Blasius para camada limite laminar dá uma dependência do tipo \delta \propto \sqrt{\nu x/U_\infty} e o coeficiente 5 é uma aproximação prática que corresponde à posição onde u\approx0{,}99\,U_\infty.
  • Para a camada limite térmica (para escoamento laminar sobre placa com temperatura de superfície constante), a escala típica é
\delta_t(x) \sim \frac{x}{\mathrm{Re}_x^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3}}
o que implica, comparando com \delta_{99},
\delta_t(x)\approx \delta_{99}(x)\,\mathrm{Pr}^{-1/3}.
Explicação: a difusão térmica tem uma velocidade característica \alpha=k/(\rho c_p); a relação com a camada limite de velocidade envolve um fator que depende de \mathrm{Pr}. Para \mathrm{Pr}>1 a camada térmica é mais fina ( \delta_t<\delta), para \mathrm{Pr}<1 é mais espessa.
  • Nusselt médio para placa plana, escoamento laminar, superfície de temperatura constante (médio sobre 0\le x\le L):
\mathrm{Nu}_{L,\text{médio}} = 0{,}664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3},é
onde \mathrm{Re}_L = \dfrac{U_\infty L}{\nu}.
  • Coeficiente de transferência de calor médio:
h_{\text{médio}} = \frac{\mathrm{Nu}_{L,\text{médio}}\,k}{L}.éé
  • Fluxo de calor por unidade de área (se T_s fosse conhecida):
\dot{q}'' = h_{\text{médio}}\,(T_s - T_\infty).é

Passo 3

Calcular \mathrm{Re}_x e verificar laminaridade para cada fluido (com x=0{,}04\\ \mathrm{m}).
Para o ar:
\mathrm{Re}_x^{(\text{ar})} = \frac{U_\infty x}{\nu_{\text{ar}}} = \frac{1\cdot 0{,}04}{1{,}568\times10^{-5}} \approx 2551.
Para o óleo:
\mathrm{Re}_x^{(\text{óleo})} = \frac{1\cdot 0{,}04}{1{,}0\times10^{-4}} = 400.ó
Interpretação: ambos os \mathrm{Re}_x são muito menores que o limite de transição ( \sim 5\times10^5), logo o escoamento na região x=0{,}04\\ \mathrm{m} é laminar para ambos os fluidos — as fórmulas escolhidas são apropriadas.

Passo 4

Calcular espessura da camada limite de velocidade \delta_{99} em x=0{,}04\\ \mathrm{m} para cada fluido, usando \delta_{99}\approx 5\sqrt{\nu x / U_\infty}.
Para o ar:
\delta_{99}^{(\text{ar})} =5\sqrt{\frac{\nu_{\text{ar}}\,x}{U_\infty}} =5\sqrt{\frac{1{,}568\times10^{-5}\cdot 0{,}04}{1}} =5\sqrt{6{,}272\times10^{-7}} =5\cdot 7{,}92\times10^{-4} \approx 3{,}96\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=3{,}96\\ \mathrm{mm}.
Para o óleo:
\delta_{99}^{(\text{óleo})} =5\sqrt{\frac{1{,}0\times10^{-4}\cdot 0{,}04}{1}} =5\sqrt{4{,}0\times10^{-6}} =5\cdot 2{,}0\times10^{-3} =1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=10{,}0\\ \mathrm{mm}.ó

Passo 5

Calcular espessura da camada limite térmica \delta_t em x=0{,}04\\ \mathrm{m} usando \delta_t\approx\delta_{99}\,\mathrm{Pr}^{-1/3}.
Para o ar ( \mathrm{Pr}_{\text{ar}}=0{,}71):
\mathrm{Pr}_{\text{ar}}^{-1/3}=0{,}71^{-1/3}\approx 1{,}1208,
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\delta_t^{(\text{ar})}\approx 3{,}96\times10^{-3}\cdot 1{,}1208 \approx 4{,}44\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=4{,}44\\ \mathrm{mm}.
Para o óleo ( \mathrm{Pr}_{\text{óleo}}\approx 1272ó):
\mathrm{Pr}_{\text{óleo}}^{-1/3}=1272^{-1/3}\approx 0{,}0925,ó
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\delta_t^{(\text{óleo})}\approx 1{,}0\times10^{-2}\cdot 0{,}0925 \approx 9{,}25\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}925\\ \mathrm{mm}.ó
Interpretação didática: para o ar ( \mathrm{Pr}<1) a camada térmica é um pouco mais espessa que a de velocidade; para o óleo (Pr muito grande) a difusão térmica é lenta e a camada térmica é muito mais fina que a camada de velocidade.

Passo 6

Calcular o número de Nusselt médio \mathrm{Nu}_{L,\text{médio}}é sobre L=0{,}04\\ \mathrm{m} e o coeficiente médio h para cada fluido.
Fórmula usada:
\mathrm{Nu}_{L,\text{médio}} = 0{,}664\,\mathrm{Re}_L^{1/2}\,\mathrm{Pr}^{1/3},\qquad h_{\text{médio}} = \frac{\mathrm{Nu}_{L,\text{médio}}\,k}{L}.ééé
Para o ar:
  • \mathrm{Re}_L^{(\text{ar})} \approx 2551,\\ \mathrm{Re}_L^{1/2}\approx 50{,}51.
  • \mathrm{Pr}_{\text{ar}}^{1/3}=0{,}71^{1/3}\approx 0{,}8922.
    Logo
\mathrm{Nu}_{L,\text{médio}}^{(\text{ar})} =0{,}664\cdot 50{,}51\cdot 0{,}8922 \approx 29{,}91.é
Coeficiente médio:
h_{\text{médio}}^{(\text{ar})} =\frac{29{,}91\cdot 0{,}0263}{0{,}04} \approx 19{,}67\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.é
Para o óleo:
  • \mathrm{Re}_L^{(\text{óleo})}=400,\\ \mathrm{Re}_L^{1/2}=20.ó
  • \mathrm{Pr}_{\text{óleo}}^{1/3}=1272^{1/3}\approx 10{,}83.ó
    Logo
\mathrm{Nu}_{L,\text{médio}}^{(\text{óleo})} =0{,}664\cdot 20\cdot 10{,}83 \approx 143{,}8.óé
Coeficiente médio:
h_{\text{médio}}^{(\text{óleo})} =\frac{143{,}8\cdot 0{,}13}{0{,}04} \approx 467{,}5\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.óé
Comentário didático: embora o óleo tenha condutividade térmica menor que o ar, o seu número de Nusselt médio e o coeficiente h ficam grandes porque \mathrm{Pr} é muito alto — o transporte térmico convectivo próximo à superfície é intensificado (camada térmica muito fina, resultando em gradientes térmicos elevados e, portanto, h alto).

Passo 7

Expressar o fluxo de calor por unidade de área (já que T_s não foi dado) e apresentar os valores numéricos de h. Para cada fluido:
\dot{q}'' = h_{\text{médio}}\,(T_s - T_\infty).é
Com T_\infty igual à temperatura do filme 300\\ \mathrm{K}:
  • Para o ar:
\dot{q}''^{(\text{ar})} \;=\; 19{,}67\,(T_s - 300)\quad\text{(W/m}^2\text{)}.
  • Para o óleo:
\dot{q}''^{(\text{óleo})} \;=\; 467{,}5\,(T_s - 300)\quad\text{(W/m}^2\text{)}.ó

Resposta

Ar: \delta_{99}=3{,}96\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, \delta_t=4{,}44\times10^{-3}\\ \mathrm{m}
Ar: \mathrm{Nu}_{L,\text{médio}}=29{,}91é, h_{\text{médio}}=19{,}67\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}é, \dot{q}''=19{,}67\,(T_s-300)\\ \mathrm{W/m^2}
Óleo: \delta_{99}=1{,}00\times10^{-2}\\ \mathrm{m}, \delta_t=9{,}25\times10^{-4}\\ \mathrm{m}
Óleo: \mathrm{Nu}_{L,\text{médio}}=143{,}8é, h_{\text{médio}}=467{,}5\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}é, \dot{q}''=467{,}5\,(T_s-300)\\ \mathrm{W/m^2}

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