y^{\prime \prime}+y^{\prime}=\operatorname{sen} t
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede encontrar a solução geral
. Informações relevantes do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A equação é de segunda ordem (aparece
). - O lado direito é
(função trigonométrica). - Não foram dadas condições iniciais, logo devemos obter a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Escolha do método (explicando passo a passo como pensar na prova).
Para resolver, vamos separar em duas partes: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Essa é uma estratégia padrão quando o lado direito é uma função relativamente simples (como polinômios, exponenciais, senos/cossenos): primeiro resolve-se a homogênea e depois procura-se uma solução particular por tentativa (método dos coeficientes indeterminados). É um método direto e rápido em prova, por isso o escolhi.
Para resolver, vamos separar em duas partes: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Essa é uma estratégia padrão quando o lado direito é uma função relativamente simples (como polinômios, exponenciais, senos/cossenos): primeiro resolve-se a homogênea e depois procura-se uma solução particular por tentativa (método dos coeficientes indeterminados). É um método direto e rápido em prova, por isso o escolhi.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada.
A equação homogênea é
A equação homogênea é
Para resolver, fazemos a troca padrão
e obtemos a equação característica
Fatorando,
logo as raízes são
e
. Como são raízes reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Aqui cada termo corresponde a uma raiz:
e
.)
Passo 4
Escolher uma ansatz (palpite) para a solução particular.
O lado direito é . Pelo método dos coeficientes indeterminados, para uma forçante da forma
ou
tentamos uma solução particular da forma
O lado direito é
onde
e
são constantes a determinar. Antes de usar esse palpite, checamos se
ou
pertencem ao espaço de soluções da homogênea (isso causaria “ressonância” e exigiria multiplicar por
). A solução homogênea
é formada por
e
, que não são senos nem cossenos, então a escolha acima é válida sem multiplicar por
.
Passo 5
Derivar
e
.
Com obtemos
Com
Mostrei cada derivada: derivada de
é
, de
é
.
Passo 6
Substituir
,
e
na equação e igualar coeficientes.
Substituindo na equação obtemos
Substituindo na equação
Agrupando termos em
e
:
Queremos que isso seja igual a
, isto é
Igualando coeficientes de
e
obtemos o sistema linear para
e
:
Passo 7
Resolver o sistema para
e
.
Da primeira equação segue
. Substituindo na segunda:
Da primeira equação
Então
. Portanto a solução particular é
Passo 8
Escrever a solução geral e comentar rapidamente como checar.
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Uma checagem rápida (útil em prova) é derivar essa
, calcular
e verificar que o resultado é
; como já determinámos
e
por comparação de coeficientes, essa verificação fecha o raciocínio.
Dica prática para a prova (resumão):
- Resolva a homogênea pela equação característica.
- Escolha uma ansatz para
baseada na forma do lado direito (polinômio, exponencial, seno/cosseno). - Se houver coincidência com a homogênea, multiplique a ansatz por
conforme necessário. - Derive, substitua, iguale coeficientes e resolva o sistema para as constantes.
- Some
e para obter a solução geral.
Força aí — esse tipo de questão cai muito em prova e, com esses passos, dá pra resolver rápido e sem tropeçar.