y^{\prime \prime}+y^{\prime}=\operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''+y'=\operatorname{sen} t
e pede encontrar a solução geral y(t). Informações relevantes do enunciado:
  • A incógnita é a função y(t).
  • A equação é de segunda ordem (aparece y'').
  • O lado direito é \operatorname{sen} t (função trigonométrica).
  • Não foram dadas condições iniciais, logo devemos obter a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Escolha do método (explicando passo a passo como pensar na prova).
Para resolver, vamos separar em duas partes: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Essa é uma estratégia padrão quando o lado direito é uma função relativamente simples (como polinômios, exponenciais, senos/cossenos): primeiro resolve-se a homogênea e depois procura-se uma solução particular por tentativa (método dos coeficientes indeterminados). É um método direto e rápido em prova, por isso o escolhi.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada.
A equação homogênea é
y''+y'=0.
Para resolver, fazemos a troca padrão y(t)=e^{rt} e obtemos a equação característica
r^2 + r = 0.
Fatorando,
r(r+1)=0,
logo as raízes são r=0 e r=-1. Como são raízes reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 + C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. (Aqui cada termo corresponde a uma raiz: r=0\Rightarrow e^{0t}=1 e r=-1\Rightarrow e^{-t}.)

Passo 4

Escolher uma ansatz (palpite) para a solução particular.
O lado direito é \sin t. Pelo método dos coeficientes indeterminados, para uma forçante da forma \sin t ou \cos t tentamos uma solução particular da forma
y_p(t)=A\cos t + B\sin t,
onde A e B são constantes a determinar. Antes de usar esse palpite, checamos se \cos t ou \sin t pertencem ao espaço de soluções da homogênea (isso causaria “ressonância” e exigiria multiplicar por t). A solução homogênea y_h é formada por 1 e e^{-t}, que não são senos nem cossenos, então a escolha acima é válida sem multiplicar por t.

Passo 5

Derivar y_p e y_p''.
Com y_p(t)=A\cos t + B\sin t obtemos
y_p'(t) = -A\sin t + B\cos t,
y_p''(t) = -A\cos t - B\sin t.
Mostrei cada derivada: derivada de \cos t é -\sin t, de \sin t é \cos t.

Passo 6

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação e igualar coeficientes.
Substituindo na equação y''+y'=\sin t obtemos
y_p'' + y_p' = (-A\cos t - B\sin t) + (-A\sin t + B\cos t).
Agrupando termos em \cos t e \sin t:
y_p'' + y_p' = (-A + B)\cos t + (-B - A)\sin t.
Queremos que isso seja igual a \sin t, isto é
(-A + B)\cos t + (-B - A)\sin t = 0\cdot\cos t + 1\cdot\sin t.
Igualando coeficientes de \cos t e \sin t obtemos o sistema linear para A e B:
\begin{cases} -A + B = 0,\\[4pt] - B - A = 1. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema para A e B.
Da primeira equação -A+B=0 segue B=A. Substituindo na segunda:
- A - A = 1 \quad\Rightarrow\quad -2A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac{1}{2}.
Então B=A=-\tfrac{1}{2}. Portanto a solução particular é
y_p(t) = -\tfrac{1}{2}\cos t - \tfrac{1}{2}\sin t = -\tfrac{1}{2}\bigl(\cos t + \sin t\bigr).

Passo 8

Escrever a solução geral e comentar rapidamente como checar.
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1 + C_2 e^{-t} - \tfrac{1}{2}\bigl(\cos t + \sin t\bigr).
Uma checagem rápida (útil em prova) é derivar essa y, calcular y''+y' e verificar que o resultado é \sin t; como já determinámos A e B por comparação de coeficientes, essa verificação fecha o raciocínio.
Dica prática para a prova (resumão):
  1. Resolva a homogênea pela equação característica.
  2. Escolha uma ansatz para y_p baseada na forma do lado direito (polinômio, exponencial, seno/cosseno).
  3. Se houver coincidência com a homogênea, multiplique a ansatz por t conforme necessário.
  4. Derive, substitua, iguale coeficientes e resolva o sistema para as constantes.
  5. Some y_h e y_p para obter a solução geral.
Força aí — esse tipo de questão cai muito em prova e, com esses passos, dá pra resolver rápido e sem tropeçar.

Resposta

y(t)=C_1 + C_2 e^{-t} - \tfrac{1}{2}\bigl(\cos t + \sin t\bigr)

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