y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=3 e^{t} \quad ; \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea e uma condição inicial:
y''-5y'+6y=3e^{t}, \qquad y(0)=1.
O que é pedido implicitamente: encontrar a solução geral da equação (e, quando possível, usar a condição inicial para determinar constantes). Informações relevantes dadas:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é 3e^{t}.
  • Há apenas uma condição inicial: y(0)=1. (Observação: para determinar completamente uma solução única de uma EDO de segunda ordem normalmente são necessárias duas condições iniciais; aqui temos só uma.)

Passo 2

Vamos resolver primeiro a equação homogênea associada (isso é padrão: encontrar a solução geral da parte homogênea e depois uma particular da não-homogênea).
A equação homogênea é
y''-5y'+6y=0.
A técnica padrão é procurar soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica para r:
r^{2}-5r+6=0.
Explicando: ao substituir y=e^{rt} tem-se y'=r e^{rt} e y''=r^{2}e^{rt}; dividindo por e^{rt} (não nulo) sobra a equação polinomial acima. Agora resolvemos o polinômio quadrático:
r^{2}-5r+6=(r-2)(r-3)=0,
portanto as raízes são r=2 e r=3. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear
y_{h}(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{3t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (aqui descrevo o que são: constantes de integração que serão ajustadas pelas condições iniciais).

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(t) da equação completa com o termo não-homogêneo 3e^{t}.
Método escolhido: método dos coeficientes indeterminados. Ideia rápida e didática: quando o termo do lado direito é uma combinação simples de exponenciais, polinômios e senos/cossenos, tentamos um palpite com a mesma forma, com coeficientes desconhecidos que determinamos substituindo na equação.
Aqui o lado direito é 3e^{t}. Fazemos o palpite padrão
y_{p}(t)=A e^{t},
onde A é constante a determinar. Antes de usar este palpite verificamos se e^{t} é solução da homogênea (isso evitaria uma ressonância que exigiria multiplicar o palpite por t). As soluções homogêneas têm expoentes 2 e 3, ou seja, e^{2t} e e^{3t}; portanto e^{t} não está entre elas (pois r=1 não é raiz da característica). Logo o palpite A e^{t} é adequado.

Passo 4

Calculamos y_{p}' e y_{p}'' e substituímos na equação para achar A.
Para y_{p}(t)=A e^{t} temos
y_{p}'(t)=A e^{t},\qquad y_{p}''(t)=A e^{t}.
Substituindo na equação original:
y_{p}''-5y_{p}'+6y_{p} = A e^{t} -5A e^{t} +6A e^{t} = (1-5+6)A e^{t}=2A e^{t}.
Devemos igualar isso ao lado direito 3e^{t}, portanto
2A e^{t}=3e^{t}\quad\Rightarrow\quad 2A=3\quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{2}.
Logo
y_{p}(t)=\frac{3}{2}e^{t}.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular (princípio da superposição para equações lineares):
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{3t}+\frac{3}{2}e^{t}.
Agora usamos a condição inicial y(0)=1 para relacionar C_{1} e C_{2}. Avaliando y(0):
y(0)=C_{1}+C_{2}+\frac{3}{2}=1.
Isso fornece a equação
C_{1}+C_{2}=-\frac{1}{2}.
Como só temos esta única equação para as duas constantes, não é possível determinar C_{1} e C_{2} individualmente sem uma segunda condição (por exemplo y'(0)). Portanto a solução que satisfaz a condição dada é uma família de soluções com um parâmetro livre.

Passo 6

É útil expressar a família de soluções de forma explícita com um único parâmetro livre. Por exemplo, escolha um parâmetro K tal que C_{1}=K. Então
C_{2}=-\frac{1}{2}-K,
e a solução fica
y(t)=K e^{2t}+\Bigl(-\frac{1}{2}-K\Bigr)e^{3t}+\frac{3}{2}e^{t}, \qquad K\in\mathbb{R}.
(Se, na prova, aparecesse uma segunda condição como y'(0)=y_{1}, bastaria calcular y'(t), avaliá-lo em t=0 e resolver o sistema linear para C_{1},C_{2}.)

Passo 7

Recapitulando de forma curta e prática (para decorar e aplicar na prova):
  • Resolver a homogênea pela equação característica.
  • Tentar um palpite para y_{p} compatível com o lado direito e verificar ressonância.
  • Determinar constantes do palpite substituindo na EDO.
  • Somar y_{h}+y_{p} e aplicar condições iniciais; se faltar condição, resta uma constante livre.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{2t}+C_{2}e^{3t}+\frac{3}{2}e^{t},\qquad C_{1}+C_{2}=-\frac{1}{2}.

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