y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=3 e^{t} \quad ; \quad y(0)=1
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea e uma condição inicial:
O que é pedido implicitamente: encontrar a solução geral da equação (e, quando possível, usar a condição inicial para determinar constantes). Informações relevantes dadas:
- A equação é linear, com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo é
. - Há apenas uma condição inicial:
. (Observação: para determinar completamente uma solução única de uma EDO de segunda ordem normalmente são necessárias duas condições iniciais; aqui temos só uma.)
Passo 2
Vamos resolver primeiro a equação homogênea associada (isso é padrão: encontrar a solução geral da parte homogênea e depois uma particular da não-homogênea).
A equação homogênea é
A equação homogênea é
A técnica padrão é procurar soluções da forma
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica para
:
Explicando: ao substituir
tem-se
e
; dividindo por
(não nulo) sobra a equação polinomial acima. Agora resolvemos o polinômio quadrático:
portanto as raízes são
e
. Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é a combinação linear
onde
e
são constantes arbitrárias (aqui descrevo o que são: constantes de integração que serão ajustadas pelas condições iniciais).
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa com o termo não-homogêneo
.
Método escolhido: método dos coeficientes indeterminados. Ideia rápida e didática: quando o termo do lado direito é uma combinação simples de exponenciais, polinômios e senos/cossenos, tentamos um palpite com a mesma forma, com coeficientes desconhecidos que determinamos substituindo na equação.
Aqui o lado direito é . Fazemos o palpite padrão
Método escolhido: método dos coeficientes indeterminados. Ideia rápida e didática: quando o termo do lado direito é uma combinação simples de exponenciais, polinômios e senos/cossenos, tentamos um palpite com a mesma forma, com coeficientes desconhecidos que determinamos substituindo na equação.
Aqui o lado direito é
onde
é constante a determinar. Antes de usar este palpite verificamos se
é solução da homogênea (isso evitaria uma ressonância que exigiria multiplicar o palpite por
). As soluções homogêneas têm expoentes
e
, ou seja,
e
; portanto
não está entre elas (pois
não é raiz da característica). Logo o palpite
é adequado.
Passo 4
Calculamos
e
e substituímos na equação para achar
.
Para temos
Para
Substituindo na equação original:
Devemos igualar isso ao lado direito
, portanto
Logo
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular (princípio da superposição para equações lineares):
Agora usamos a condição inicial
para relacionar
e
. Avaliando
:
Isso fornece a equação
Como só temos esta única equação para as duas constantes, não é possível determinar
e
individualmente sem uma segunda condição (por exemplo
). Portanto a solução que satisfaz a condição dada é uma família de soluções com um parâmetro livre.
Passo 6
É útil expressar a família de soluções de forma explícita com um único parâmetro livre. Por exemplo, escolha um parâmetro
tal que
. Então
e a solução fica
(Se, na prova, aparecesse uma segunda condição como
, bastaria calcular
, avaliá-lo em
e resolver o sistema linear para
.)
Passo 7
Recapitulando de forma curta e prática (para decorar e aplicar na prova):
- Resolver a homogênea pela equação característica.
- Tentar um palpite para
compatível com o lado direito e verificar ressonância. - Determinar constantes do palpite substituindo na EDO.
- Somar
e aplicar condições iniciais; se faltar condição, resta uma constante livre.